Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Выражения со степенями и корнями

Возведение в степень

Выражение $a^b$, где $a$ называется основание, а $b$ — показатель. Выражение определено для положительных $a$ и любых действительных $b$:

Формулы действия со степенями

Если $a,b>0$, то $a^0=1, \,\,\,\, 1^x=1$;

$a^{ {k}/{n} }=√^n{a^k}$, ($k$ — целое число, $n$ — натуральное число) — связь с арифметическими корнями;

$a^{-x}={1}/{a^x}$;

$a^x· a^y=a^{x+y}$ — произведение степеней;

${a^x}/{a^y}=a^{x-y}$ — отношение степеней;

$(a^x)^y=a^{xy}$ — степень в степени;

${a^x}/{b^x}=({a}/{b})^x$ — дробь в степени.

Арифметический корень

$√^n a$ — арифметический корень степени $n$ из числа $a$, где $n$ — натуральное число, а $a$ — целое, причем если $n$ — четное число, то $a≥0$, определяется из соотношения $(√^n a)^n =a$.

$√9=3$ (проверяем: $3^2=9$);
$√^3 {27}=3$ (проверяем: $3^3=27$);
$√^4{16}=2$ (проверяем: $2^4=16$).

Формулы действия с арифметическими корнями

Если $x,y≥0$, $n,m$ — натуральные числа, а $k$ — целое число, то выполняются равенства

$√^n{1}=1,\,\,\,\, √^n{0}=0$;

$(√^n{x})^n=x$;

$√^n{x}=x^{ {1}/{n} }$ — связь со степенями;

$√^n{xy}=√^n{x}·√^n{y}$ — корень из произведения;

$√^n{ {x}/{y} }={√^n{x} }/{√^n{y} }, \,\,\,\, (y≠ 0)$ — корень из дроби;

$√^n{x^k}=(√^n{x})^k$ — корень из степени;

$√^n{√^m{x} }=√^{mn}{x}$ — корень из корня;

$√^{nm}{x^{km} }=√^n{x^k}$ — правило сокращения.

Некоторые из формул верны и для любых $x,y≠0$ и нечетных $n,m$.