Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Задачи на движение

Что нужно знать

Что вы узнаете

Формулы, связывающие скорость, расстояние и время

Если на каком-то участке пути нам известно время $t$ и пройденное расстояние $S$, то мы легко найдем среднюю скорость пути $v$ по формуле

$$v=S/t.$$

Из этого равенства мы можем получить два других равенства:

$$S=vt, \,\,\,\, t=S/v.$$

Таким образом, если нам известны любые две из трех величин: скорость, время или расстояние, — то мы с легкостью найдем третью. Эти формулы позволяют решать простейшие задачи на движение.

Использовать эти формулы можно, только если единицы измерения согласованы. Это значит, что если расстояние выражено в километрах, а время в часах, то скорость должна быть выражена в километрах в час (а не в метрах в секунду). Если единицы не согласованы, необходимо выполнить преобразование одних единиц измерения в другие. Это не сложно. Просто запишите формулу в старых единицах, а затем замените их на новые, дописав соответствующий множитель.

Например, если мы хотим $100$ метров в минуту перевести в километры в час, вспомним, что в часе $60$ минут, а в километре $1000$ метров. Тогда выражение $100 \text"м" / \text"мин"= 100·{0,001 \text"км"}/{1/60 \text"ч"}=100·60·0,001 \text"км"/\text"ч"=6 \text"км"/\text"ч"$.

В предварительном забеге на $100$ метров Усэйн Болт показал время $10$ секунд. Чему была равна его средняя скорость в километрах в час? (км/ч)

$100$ метров за $10$ секунд — это $0,1$ километр за $1/{360}$ часа. Тогда средняя скорость равна

$v={0,1}/{1/360}=360·0,1=36$ (км/ч).

Примените одну из трех формул, связывающих расстояние, время и скорость, чтобы решить следующую задачу:

В $2009$ году победитель соревнований среди машин на солнечных батареях World Solar Challenge проехал территорию Австралии с севера на юг ($3021$ км) за $30$ часов. Чему была равна средняя скорость автомобиля? (Ответ округлите до целого числа.) (км/ч)

$3021/30=100\, 21/30≈101$ (км/ч).

В более сложных задачах не достаточно просто воспользоваться формулой. Для их решения требуется составить и решить уравнение.

Решим следующую задачу:

В одной из серий программы "Top Gear" Джереми Кларксон и Сабина Шмитц проехали на время $6$ кругов трассы Нюрбургринг в Германии. При этом расстояние, которое проехал каждый гонщик, составило $122$ км. Кларксон ехал на спортивном автомобиле Ягуар тип S. Его средняя скорость по дистанции была на $2$ км/ч больше, чем у Сабины, которая ехала на грузовом фургоне Форд. При этом Кларксон прибыл к финишу на $1$ минуту раньше Сабины. Найдите скорость Кларксона. Ответ дайте в км/ч.

Начинать решение такой задачи следует с выбора переменной (или переменных). Поскольку нам нужно найти скорость Кларксона, обозначим ее $v$ и включим ее в число неизвестных. Выразим через $v$ скорость второго гонщика: скорость Сабины равна $(v-2)$  (км/ч).

Как мы видим, скорость Сабины тоже можно выразить через $v$. Поэтому для нее не требуется вводить дополнительную переменную. Чем меньше различных переменных мы используем, тем проще будет система уравнений, которую нужно будет потом решить. Если мы сможем обойтись только одной переменной, то нужно будет решить только одно уравнение.

Мы можем выразить время Кларксона $t$ через расстояние ($122$ км) и скорость ($v$ км/ч): $t=122/v$ ч

Время Сабины по условию на одну минуту больше времени Кларксона, которое равно $t={122}/v$. Однако мы не можем записать просто $t+1$, поскольку время $t$ выражено в часах. Вспомним, что минута — это $1/60$ часа. Тогда время Сабины равно $t+1/60=122/v+1/60$.

Мы также можем выразить время Сабины через скорость и расстояние: $122/{v-2}$. В результате мы получим уравнение с одной неизвестной $v$:

$$122/v+1/60=122/{v-2}.$$

Решим его. Это рациональное уравнение, которое в данном случае сводится к квадратному уравнению. Для того чтобы получить квадратное уравнение, умножим обе части сначала на $v$, а затем на $(v-2)$:

$122+v/60={122v}/{v-2};$

$122(v-2)+{v(v-2)}/60=122v;$

$122·60·(v-2)+v(v-2)=122·60·v;$

$v(v-2)-122· 120=0;$

$v^2-2v-122·120=0;$

$D=4+4· 122· 120=4· 121^2;$

$v={2±242}/2;$

Уравнению удовлетворяет $2$ различных значения $v$, но поскольку скорость — это положительная величина, то мы выбираем положительный корень: $v=122\,\, {км}/ч$.

Как и в этой задаче, в большинстве задач на движение в качестве переменной обычно удобно выбрать скорость.

Неравномерное движение

В задачах, которые мы решали до сих пор, нам было не важно, как менялись скорости во время движения, поскольку нас интересовали только средние скорости. Мы могли смело применять формулу $v=S/t$, когда расстояние и время движения были нам известны. Но что делать, если скорости на различных участках пути отличаются, а общее время или расстояние неизвестны? Как вычислить среднюю скорость движения?

Пусть скорости на двух участках пути равны $v_1$ и $v_2$. Мы рассмотрим два случая: когда известно время пути на каждом участке ($t_1$ и $t_2$) и когда известна длина каждого участка ($S_1$ и $S_2$). В каждом из случаев мы покажем, как найти среднюю скорость пути $v={S_1+S_2}/{t_1+t_2}$.

1) Если известны $t_1$ и $t_2$, то на $i$-м участке верна формула $S_i=v_i·t_i$. Поэтому $$v={S_1+S_2}/{t_1+t_2}={v_1t_1+v_2t_2}/{t_1+t_2}=v_1·{t_1}/{t_1+t_2}+v_2·{t_2}/{t_1+t_2}.$$

Из этой формулы можно увидеть, что если тело затратило одинаковое время на прохождение первого и второго участка, то средняя скорость будет равна среднему арифметическому скоростей на каждом участке: $v={v_1+v_2}/2$.

2) Если известны $S_1$ и $S_2$, то $t_i={S_i}/{v_i}$. Поэтому $$v={S_1+S_2}/{t_1+t_2}={S_1+S_2}/{ {S_1}/{v_1}+{S_2}/{v_2} }.$$

Вы можете легко убедиться, что если тело прошло одинаковое расстояние на каждом из участков пути, то средняя скорость не равна ${v_1+v_2}/2$, а равна $2/{1/v_1+1/v_2}$. Например, при $v_1=5$ (км/ч) и $v_2=10$ (км/ч) средняя скорость равна $2/{1/5+1/10}=6 2/3$ (км/ч), что меньше, чем среднее арифметическое: ${5+10}/2=7,5$ (км/ч).

В таблице показан результат вычислений средней скорости в случае равных по длине участков пути и в случае равных промежутков времени.

Разберем теперь задачу на неравномерное движение:

Из Лондона в Манчестер одновременно выехали Ричард Хаммонд на мотоцикле “Минск” и Стиг на тракторе “Беларусь”. Хаммонд проехал весь путь с постоянной скоростью. Стиг проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости Хаммонда на $13$ км/ч (мешали лондонские пробки), а вторую половину пути — со скоростью $78$ км/ч, в результате чего прибыл в пункт $В$ одновременно с Хаммондом. Найдите скорость мотоцикла “Минск”, если известно, что она больше $48$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

В условии задачи даны только скорости и нет никаких сведений о времени пути и пройденном расстоянии. Чтобы найти скорость мотоцикла Хаммонда $v_\text"М"$, мы обозначим расстояние между Лондоном и Манчестером через $S$, затем запишем известные из условия соотношения для первой и второй части пути и получим уравнение относительно скорости мотоцикла ($v_\text"М"$). При этом уравнение не должно содержать $S$, поскольку иначе ответ будет зависеть от значения $S$, которое нам не известно.

На первой части пути скорость трактора Стига была на $13$ км/ч меньше, чем скорость Хаммонда: она была равна $v_\text"Т,1"=v_\text"М"-13$ км/ч. Пройденное расстояние равно $S/2$ км. Время пути равно $t_\text"Т,1"={S}/{2(v_\text"М"-13)}$.

На $2$-й части пути скорость Стига равнялась $v_\text"Т,2"=78$ км/ч, расстояние — $S/2$ км, а время — $t_\text"Т,2"=S/{2·78}=S/{156}$ ч.

Общее время пути трактора: $t_\text"Т"=t_\text"Т,1"+t_\text"Т,2"={S}/{2(v_\text"М"-13)}+S/{156}$ ч.

Средняя скорость трактора на всем пути: $v_\text"T"=S/{t_\text"Т"}={1}/{1/{2(v_\text"М"-13)}+1/{156} }={156(v_\text"М"-13)}/{78+v_\text"М"-13}$.

Нам известно, что трактор и мотоцикл приехали в Манчестер одновременно. Следовательно, время пути, а значит и средние скорости, были одинаковыми: $v_\text"T"=v_\text"М"$. Дальше будем писать просто $v$.

Получаем уравнение:

$v={156(v-13)}/{78+v-13};$

$v(65+v)=156(v−13);$

$v^2-91v+156·13=0;$

$D=91^2-4·156·13=169;$

$v_{1}={91+13}/2=52,\,\,\,\, v_{2}={91-13}/2=39$.

По условию скорость должна быть больше, чем $48$. Только $v_1$ удовлетворяет этому условию. Поэтому скорость мотоцикла была равна $52$ км/ч.

Сближение и отдаление тел

В задачах на сближение или отдаление тел полезно использовать скорость сближения или скорость отдаления тел. Скорость сближения при движении навстречу равна сумме скоростей тел:

$$v_{\text"сближения"}=v_1+v_2{.}$$

Если тела движутся в одном направлении и более быстрое тело преследует или догоняет более медленное, то скорость сближения равна $v_{\text"сближения"} = v_1-v_2$.

Если тела сблизились на расстояние $S$, то время сближения равно $t=S/v_{\text"сближения"}$.

Аналогично скорость отдаления тел можно найти по формуле $v_{\text"отдаления"}=v_1+v_2$, если тела движутся в разные стороны, или по формуле $v_{\text"отдаления"}=v_1-v_2$, если они движутся в одну сторону, причем первое тело движется быстрее.

Время отдаления на расстояние $S$ составляет $t=S/{v_{\text"отдаления"}}$.

Расстояние между городами А и В равно $720$ км. Из города А в город В вышел скорый поезд со скоростью $v_1=80$ км/ч. Через $2$ часа навстречу ему вышел пассажирский со скоростью $v_2=60$ км/ч. Через сколько часов после выхода второго поезда они встретятся? ч

Через $2$ часа после начала движения скорого поезда, расстояние между поездами составит $S=720-2·80=560$ км. Когда пассажирский поезд выйдет навстречу скорому поезду, скорость сближения составит $v=80+60=140$ км/ч. К моменту, когда поезда встретятся, они проедут в сумме $560$ км. Таким образом, время сближения составит $560/{140}=4$ часа.

Движение длинных тел

До сих пор мы представляли движущиеся тела точками. Однако, когда мы имеем дело с поездами или другими длинными объектами, такой подход дает неточные результаты.

Методы решения задач с длинномерными телами в целом аналогичны, но нужно немного подкорректировать расстояния, которые проходят тела с учетом их длины.

В следующем упражнении соберите подходящую формулу из отдельных фрагментов (при этом могут остаться лишние фрагменты):

От последней остановки и до точки, в которой его голова поравнялась с хвостом неподвижного состава длиной $750$ м (головы поездов направлены в одну сторону), поезд длиной $600$ м прошел расстояние $S$ км. Какое расстояние в километрах он пройдет, когда его хвост поравняется с головой неподвижного поезда?

Составьте правильную формулу.Вы можете пропустить вопрос.

Проследим за тем, как движутся голова и хвост поезда. Пока поезд движется мимо неподвижного поезда, его голова сначала проходит путь от хвоста до головы стоящего поезда (всего $750$ м). А затем поезд проходит еще $600$ метров до момента, когда хвост поравняется с головой стоящего поезда.

Всего получится $1350$ метров. Поскольку S выражено в километрах, то $1350$ м нужно перевести в км. Получим, что пройденное расстояние равно $S+1,35$ км.

Во многих задачах полезно выбрать систему отсчета, связанную с одним из поездов. В этой системе отсчета этот поезд будет неподвижным.

Система отсчета, связанная с одним из тел, называется относительной системой отсчета, в отличие от неподвижной, то есть связанной с Землей, системой отсчета, которая называется абсолютной системой отсчета.

Скорость тела в системе отсчета, связанной с другим телом, называется относительной скоростью.

Относительная скорость не равна абсолютной скорости (то есть скорости, измеряемой относительно неподвижной земли).

Если два поезда движутся навстречу друг другу, то скорость второго поезда относительно первого равна сумме их абсолютных скоростей:

$v_{\text"отн"}=v_1+v_2$;

Если два поезда движутся в одном направлении, причем второй поезд движется быстрее, то скорость второго поезда относительно первого равна разности их абсолютных скоростей:

$v_{\text"отн"}=v_2-v_1$.

В следующей задаче перейдите к системе отсчета, связанной с одним из поездов. Это упростит вычисления.

По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно $65$ км/ч и $35$ км/ч. Длина пассажирского поезда равна $700$ метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно $36$ секундам. Ответ дайте в метрах. м

Фраза "скорый поезд прошел мимо пассажирского" означает, что сначала его голова прошла от головы до хвоста другого поезда, а затем и его хвост дошел до хвоста. В результате поезд прошел расстояние, равное сумме длин поездов в системе отсчета, связанной с другим поездом.

Относительная скорость поездов равна $35+65=100$ (км/ч). Поскольку время в задаче выражено в секундах, а ответ нужно получить в метрах, то мы должны перевести эту скорость в метры в секунду. В часе $3600$ секунд, а в км $1000$ метров. Поэтому $100 \text" км/ч" = 100·{1000\text" м"}/{3600\text" с"}={1000}/{36}\text"м/с"$.

Поскольку время движения равно $36$ секунд, то поезда прошли друг относительно друга $1000$ метров. Это означает, что сумма длин поездов равна $1000$ метров. Тогда длина скорого поезда равна $1000-700=300$ метров.

Движение по окружности

В некоторых задачах объект (автомобиль, велосипедист, стрелка часов и т.д.) движется по замкнутой траектории.

Важно научиться правильно переводить условия таких задач на математический язык.

Соберите формулу, которая соответствует тексту, из отдельных фрагментов. При этом могут оставаться лишние фрагменты. Расстояния в километрах, пройденные первым и вторым объектом, обозначены везде через $S_1$ и $S_2$:

Во время гонки NASCAR два автомобиля отправились из одной точки кругового трека длины $4$ км. К окончанию гонки первый автомобиль проехал на $2$ круга больше второго.

Составьте правильную формулу.Вы можете пропустить вопрос.

Еще одно упражнение:

В индивидуальной гонке преследования два велосипедиста стартуют из противоположных точек трека длиной $500$ м. Цель гонки состоит в том, чтобы показать лучшее время, или в том, чтобы догнать соперника. Гонщики соревнуются на дистанции $4$ км. Первый гонщик сумел догнать соперника до окончания дистанции и, таким образом, выиграл гонку.

Составьте правильную формулу.Вы можете пропустить вопрос.

Между велосипедистами была половина трека, то есть $0,25$ км. Значит, чтобы догнать соперника, спортсмену необходимо проехать на $0,25$ км больше.

И последнее:

Вася и Петя стартовали на квадроциклах из одной точки на берегу озера, периметр которого составляет $3$ км. Они поехали в противоположных направлениях вдоль берега озера и через некоторое время снова встретились.

Составьте правильную формулу.Вы можете пропустить вопрос.

Выбор точки отсчета

Поскольку следить сразу за двумя телами, движущимися по окружности, довольно сложно, удобно выбрать точку отсчета, связанную с одним из тел. В этой системе отсчета одно из тел будет неподвижным, и задача сведется к движению второго тела.

Рассмотрим пример:

В абсолютной системе отсчета часовая стрелка проходит полный круг за $12$ часов, а минутная стрелка — за $1$ час. Но если мы рассмотрим скорость обращения минутной стрелки в системе отсчета, связанной с часовой стрелкой, то она будет меньше, чем $1$ оборот в час, поскольку в абсолютной системе отсчета часовая стрелка тоже движется.

Чему равна скорость минутной стрелки относительно часовой?

Пока минутная стрелка сделает полный оборот, часовая продвинется на одно деление, то есть на $11/12$ оборота. Если бы наблюдатель сидел на часовой стрелке, то он бы видел, как минутная стрелка за час прошла $11/12$ оборота. Значит, ее скорость равна ${11}/{12}$ оборотов в час.

С помощью этой идеи очень легко, например, найти все моменты времени, когда часовая и минутная стрелки совпадают.

В самом деле, они совпадают, когда часы показывают $12$. После этого минутная стрелка делает полный оборот за $12/11=1 1/11$ часа в системе отсчета, связанной с часовой стрелкой. Значит, следующий раз часовая и минутная стрелка совпадут через $1 1/11$ часа, затем еще через $1 1/11$ часа, то есть в $2 2/11$ часа и т.д. Часовая и минутная стрелки будут совпадать в момент, кратный $1 1/11$ ч.

Решим следующую задачу с часами:

Часы со стрелками показывают $8$ часов $20$ минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? минут

Мы знаем, что часовая и минутная стрелки совпадают в момент времени, кратный $1\,1/{12}$ ч. , то есть в моменты времени $k·1\, 1/{12}$ для каждого целого $k$. Для того чтобы найти первый такой момент после $8$ часов $20$ минут, найдем наименьшее такое $k$, что $k·1\, 1/{12}>8\, 1/3$.

Мы можем найти такое $k$ подбором. При $k=7$ неравенство не выполняется: $k·1\, 1/11=7\,7/11<8\, 1/3$,  а при $k=8$ — выполняется: $8\, 8/{11}> 8\, 1/3$. Следовательно, часовая стрелка впервые совпадает с минутной при $k=8$. 

Мы хотим знать, когда стрелки совпадут в $4$-й раз. Этот момент наступит при $k=11$. Часы будут показывать $11·1\,1/{11}=12$ часов. То есть стрелки совпадут в $4$-й раз через $12-8\, 1/3=3\, 2/3$ часа или $3\, 2/3·60=180+40=220$ минут.

Движение по воде

В условии некоторых задач что-нибудь плывет по реке, например катер, лодка или другое плавсредство. В этом случае мы можем говорить о собственной скорости судна и о скорости течения.

В задачах про озеро или море никакого течения нет. Поэтому мы их рассматривать не будем. Они решаются так же, как и другие задачи на движение по прямой.

Собственная скорость судна —это его скорость в стоячей воде. Она же показывает его скорость относительно воды.

Скорость течения — это скорость воды относительно берега.

Если пароход плывет по течению реки и проплывает мимо бревна, то скорость парохода относительно бревна равна собственной скорости парохода. Скорость бревна относительно рыбака на берегу равна скорости течения реки. Скорость парохода относительно рыбака равна сумме скоростей течения реки и собственной скорости парохода.

Скорость судна, плывущего по течению, равна сумме собственной скорости судна и скорости течения: $v=v_{\text"собств"}+v_{\text"течения"}$.

Скорость судна, плывущего против течения, равна разности собственной скорости судна и скорости течения: $v=v_{\text"собств"}-v_{\text"течения"}$.

Потренируемся переводить на математический язык различные условия в таких задачах:

Скорость течения равна $5$ км/ч, а скорость парохода в неподвижной воде — $v$ км/ч. Чему равна скорость парохода при движении против течения?

Составьте правильную формулу.Вы можете пропустить вопрос.

Чему равно время движения парохода из пункта A в пункт B, если он прошел $200$ км?

Составьте правильную формулу.Вы можете пропустить вопрос.

Время равно расстоянию, деленному на скорость: $t_1=200/{v-5}$ ч.

Чему равно время движения парохода в обратном направлении (из пункта B в пункт A)?

Составьте правильную формулу.Вы можете пропустить вопрос.

В обратном направлении пароход будет плыть по течению, поэтому его скорость будет равна $v+5$. Время движения в обратном направлении составит $200/{v+5}$ ч.

Известно также, что пароход остановился в пункте B на $5$ часов, а общее время поездки составило $40$ ч. Составьте соответствующее уравнение (относительно времени)?

Составьте правильную формулу.Вы можете пропустить вопрос.

Время пути составило $40$ ч. С другой стороны, оно складывается из времени движения парохода в одну сторону, времени стоянки и времени движения в другую сторону.

Решим следующую задачу:

Баржа в $11:00$ вышла из пункта $A$ в пункт $B$, расположенный в $15$ км от $A$. Пробыв в пункте $B$ $1$ час $20$ минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт $A$ в $17:00$. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна $7$ км/ч.

Пусть $v$ — скорость течения реки.

Поскольку баржа затратила на стоянку и поездку в обе стороны всего $6$ часов, то выполняется уравнение: $1 1/3 + 15/{7+v}+15/{7-v}=6$.

Если умножить это уравнение на $(7-v)$ и на $(7+v)$, получится квадратное уравнение из которого можно будет найти $v$.

$15 (7-v)+15(7+v)=4 2/3 ·(49-v^2);$

$15·14=14/3 ·(49-v^2);$

$v^2-4=0;$

$v=±2;$

Поскольку скорость — величина положительная, то $v=2$ км/ч.