Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Решение задач на работу

Что нужно знать

Что вы узнаете

Почему нужно уметь решать задачи на работу?

Умение решать задачи на работу может очень пригодиться в практической жизни. Следующие примеры показывают, насколько разнообразными могут быть задачи на работу. Методы решения этих задач будут разобраны в этой статье.

Пример 1. Руководитель предприятия Михаил Петрович хочет определить, во сколько раз отличаются производительности труда сотрудниц Жанны и Снежанны, если известно, что вместе они справляются с работой в три раза быстрее, чем одна Жанна, работая отдельно.

Пример 2. Ваша бабушка хочет узнать, насколько дольше будет набираться ванна, если закрыть один из двух кранов, при условии что напор в этом кране на $25%$ больше напора во втором кране.

Пример 3. Начальник смены в супермаркете хочет оценить, насколько быстрее пройдет очередь, если открыть еще одну кассу, на которой будет работать стажер, обслуживающий клиентов вдвое медленнее опытного сотрудника.

Чтобы получить приличную оценку на ЕГЭ, вам придется научиться решать подобные задачи. Сделать это не сложно, поскольку большинство из них решается по стандартному алгоритму.

Как и во всех текстовых задачах, начинать решение следует с внимательного чтения условия и выбора переменной. После того как переменная выбрана, следует перевести условие на математический язык, то есть составить уравнение или систему уравнений. Если вы все сделали правильно, то должно получиться линейное иликвадратное уравнение, и все, что остается сделать, — не ошибиться в арифметике.

Как составить уравнение по условию задачи?

Условие задачи записывается в виде текста. Выполните следующие упражнения, чтобы проверить, насколько уверенно вы переводите с русского языка на язык формул.

Соберите формулу, соответствующую утверждению (могут остаться лишние компоненты):

$x$ на $1,5$ меньше, чем $y$:

Составьте правильную формулу.Вы можете пропустить вопрос.

Разность $m$ и $n$ составляет $30%$ от $n$:

Составьте правильную формулу.Вы можете пропустить вопрос.

Производительность труда

Составить уравнения в задаче на работу очень просто. Нам понадобится всего лишь одна формула:

$$A=p·t.$$

Здесь $A$ — это объем работы, $t$ — это время выполнения работы, а $p$ — это величина, которая по смыслу означает скорость выполнения работы и называется "производительность труда".

Из этой формулы следуют еще две: $t=A/p$ и $p=A/t$, — которые также полезны при решении задач.

Производительность — это отношение объёма проделанной работы ко времени, за которое она была совершена

Например, если в задаче спрашивается: "За сколько часов рабочий выточит $125$ деталей, если за час он вытачивает $25$ деталей?" — то $A$ — это объем работы, равный $125$ деталям, $p$ — производительность, равная $25$ деталям в час, а $t$ — это время, выраженное в часах. В данном примере $t$ нужно найти.

Пусть нам известно, что сварщик проваривает метр шва за $2$ часа. Чему равна его производительность труда? метров в час

Чем так хороша производительность труда? А тем, что производительности труда нескольких человек можно складывать. Это значит, что, для того чтобы получить производительность труда группы из нескольких человек, нужно сложить производительность труда людей в группе. Поэтому

При составлении уравнения в качестве переменной $x$ удобно выбрать производительность.

Конечно, два ученых не докажут сложную теорему в два раза быстрее, а две женщины не родят ребенка за $4,5$ месяца. Поэтому это правило верно, только когда речь идет о такой работе, которую можно выполнять совместно. Например, если производительности трех копателей равны $2$, $3$ и $4$ кубических метра земли в час, то вместе они вынут $9$ кубических метров земли за час.

Упражнение на понимание:

Если производительность первого рабочего равна $x$ и он выполняет за $2$ дня тот же объем работы, который другой рабочий выполняет за $4$ дня, то чему равна производительность $2$-го рабочего? (Соберите ответ из кусочков, при этом могут остаться лишние кусочки.)

Составьте правильную формулу.Вы можете пропустить вопрос.

Важно отметить, что единицы измерения, в которых записываются работа, время и производительность, должны быть согласованы. Например, если у вас время выражено в сменах, а работа — в количестве деталей, то производительность — это количество деталей в смену (не в час!). Только в том случае, если единицы измерения согласованы, будет выполняться формула $A=t·p$.

Примеры решения задач

Рабочие Ровшан и Джамшут кладут кафель в квартире Ксении Собчак. Ровшан положил $208$ плиток на $3$ часа быстрее, чем Джамшут. Сколько плиток в час кладет Джамшут, если известно, что Ровшан за час кладет на $3$ плитки больше?

В задаче требуется найти производительность Джамшута.

Для составления уравнения полезно заполнить такую таблицу:

Рабочий$A$$t$$p$
Ровшан
Джамшут   

Заполнять таблицу будем в следующем порядке:

1) вставим известные из условия величины

2) выберем переменную и обозначим ее через $x$

3) заполним оставшиеся клетки, используя формулу $A=t·p$ и условие задачи.

1) Объем работы для каждого из рабочих равен $208$ плиток.

В качестве переменной $x$ выберем производительность Джамшута, поскольку ее и нужно найти в задаче. В большинстве задач на работу производительность труда — наиболее подходящая переменная.

2) Производительность Джамшута равна $x$ (плиток в час).

3) Заполним оставшиеся клетки таблицы.

Рабочий$A$$t$$p$
Ровшан$208$
Джамшут$208$ $x$

По условию производительность труда Ровшана на $3$ плитки в час больше, чем производительность Джамшута: она равна $x+3$ (плиток в час).

Остается найти время. По формуле $A=t·p$ получаем, что время работы Ровшана равно ${208}/{x+3}$, а время работы Джамшута — ${208}/x$.

В итоге получим следующую таблицу:

Рабочий$A$$t$$p$
Ровшан$208$$t_1={208}/{x+3}$$x+3$
Джамшут$208$$t_2={208}/x$$x$

Какие данные из условия еще не нашли отражения в таблице?

Мы еще никак не использовали условие, что Ровшан выполняет заказ на $3$ часа быстрее. Это можно записать как $t_1=t_2-3$.

Если мы подставим вместо $t_1$ и $t_2$ их значения из таблицы, то получим уравнение, которое надо будет решить:

$208/{x+3}=208/x-3.$

Это рациональное уравнение. Чтобы свести его к квадратному уравнению, умножим обе части равенства на $x$ и на $x+3$:$$

$208x=208(x+3)-3x(x+3);$

$0=208·3-3x(x+3);$

Сократим все на $3$, чтобы коэффициенты были не такие страшные:

$0=208-x(x+3);$

$x^2+3x-208=0.$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D=9+4·208=841=29^2;$

$x_1={−3−29}/2=−16,\,\,x_2={−3+29}/2=13.$

Если дискриминант положительный, квадратное уравнение имеет два корня, но нам нужен только один ответ! Мы выберем положительный корень, поскольку производительность не может быть выражена отрицательным числом.

Вспомним, что через $x$ мы обозначили производительность Джамшута, и это именно то, что требуется найти в задаче.

Получаем ответ: производительность Джамшута равна $13$ плиток в час.

Разберем еще одну задачу:

Хоббиты Мерри и Пиппин, работая вместе, могут вырыть нору за $6$ дней. За сколько дней, работая отдельно, выроет нору Мерри, если он за $1$ день выполняет такую же часть работы, какую Пиппин — за $2$ дня?

В этой задаче единица измерения объема работы — это вырытая нора. Поэтому весь объем работы равен одному. В некоторых задачах вообще не говорится, в чем состоит работа.

Если объем работы не указан, примите его за единицу.

Время будет выражено в днях, а производительность труда — это количество работы в день (оно для каждого хоббита получится меньше единицы, поскольку за день каждый из них может выполнить только часть работы).

Как и в предыдущей задаче, в качестве переменной $x$ выберем производительность труда одного из рабочих: производительность Мерри.

При этом заметим, что нас просят найти величину, обратную производительности, то есть $1/x$ (количество дней, за которое вся работа может быть выполнена).

Заполним таблицу:

Рабочий$A$$t$$p$
Мерри
Пиппин    

Объем работы равен $1$ для каждого хоббита.

Производительность Мерри равна $x$, а Пиппина в $2$ раза меньше: $x/2$ (поскольку Мерри выполняет за день такую же часть работы, которую Пиппин — за $2$ дня).

Время на выполнение работы равно $1/x$ для Мерри и $2/x$ для Пиппина.

Чтобы учесть условие задачи, по которому хоббиты вместе выполняют работу за $6$ дней, добавим еще одну строку внизу таблицу. В ней мы укажем время и производительность двух хоббитов вместе.

Укажем в этой строке объем работы $A=1$ и производительность труда, равную сумме производительностей труда хоббитов: $x+x/2=3/2 x$. Время выразим с помощью формулы $A=p ·t$. Тогда время равно $2/{3x}$.

В результате таблица примет вид:

Рабочий$A$$t$$p$
Мерри$1$$1/x$$x$
Пиппин$1$$2/x$$x/2$
Мерри и Пиппин$1$$2/{3x}$${3}/{2} x$

Поскольку по условию время работы двух хоббитов равно $6$, получим уравнение: $2/{3x}=6.$

Это рациональное уравнение, которое сводится к простому линейному уравнению. Умножим на $x$ обе части уравнения:

$2/3=6x$;

$x=1/9$.

Зная производительность труда Мерри, мы можем найти ответ в задаче: он сам справится с работой за $9$ дней.

Теперь самое время потренироваться решать задачи самостоятельно. Напомним общий план решения:

1. Выбрать переменную (обычно производительность)
2. Заполнить табличку $(A,t,p)$ для каждого из рабочих (или для каждой из труб в задачах про трубы), используя формулу $A=t·p$
3. Переписать условие в виде уравнения
4. Привести полученное уравнение к виду квадратного или линейного уравнения
5. Решить уравнение и отобрать подходящий по смыслу корень (если их два)
6. Найти ответ в задаче (если нужно найти не производительность, а другую величину)

Вернемся к примерам из начала статьи:

Сотрудницы Жанна и Снежанна вместе справляются с работой в три раза быстрее, чем одна Жанна, работая отдельно. Во сколько раз отличаются производительности труда сотрудниц? враз

Если $p_1$ и $p_2$ — производительности труда Жанны и Снежанны, то их общая производительность равна $p_1+p_2$. По условию она в $3$ раза выше, чем производительность Жанны:$$

$p_1+p_2=3p_1$;

$p_2=2p_1$.

Таким образом, производительность Снежанны в $2$ раза выше!

При двух открытых кранах ванна набирается за $12$ минут. Насколько дольше будет набираться ванна, если закрыть один из двух кранов, при условии что напор в нем на $25%$ больше напора в другом кране? минут

Если производительность $1$-го крана равна $p_1=x$, то производительность $2$-го равна $p_2=1,25x$, а общая производительность двух кранов равна $p_1+p_2=2,25x$. 

Время, за которое набирается ванна из двух кранов, равно $1/{2,25 x}$. Тогда

$1/{2,25 x}=12;$

$x=1/{2,25·12}=1/27{.}$

Время, за которое вода наберется, если открыт один кран, равно $t=1/x=27$.