Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Округление



Что нужно знать

Что вы узнаете

Округление с недостатком или избытком

Разберем следующую задачу:

На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят $64$ рублей за штуку. У Вани есть $300$ рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

Если бы Ваня покупал не цветы для Маши, а конфеты для Глаши по $64$ рубля за кг, то для того, чтобы найти, сколько можно купить на $300$ рублей, мы бы просто поделили $300$ на $64$ (например, в столбик): $300 / 64 = 4,6875$ кг.

При покупке тюльпанов этого недостаточно, поскольку число тюльпанов должно быть целым и, к тому же, нечетным. На $5$ тюльпанов у Вани денег не хватает, а на $3$ — вполне. Поэтому Ваня может купить букет максимум из $3$ тюльпанов, а сдачу с чистой совестью потратить так, как ему хочется.

Как и в этом примере, во многих жизненных ситуациях мы сталкиваемся с задачами, в которых в результате вычислений получается нецелое число и его необходимо округлить в ту или иную сторону. В этой задаче мы округляли вниз, то есть с недостатком. В некоторых задачах на деление нужно округлять ответ не вниз, а вверх (с избытком).

В какую сторону нужно округлять результат в следующей задаче:

"Теплоход рассчитан на $855$ пассажиров и $30$ членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить $70$ человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?"

Шлюпок должно хватить на всех пассажиров. Даже если в последней шлюпке поедет всего $1$ человек, от нее нельзя отказаться. Поэтому в этой задаче необходимо округлять вверх.

Найдите теперь ответ в этой задаче (количество шлюпок).

Общее количество пассажиров: $885$ человек. Каждая шлюпка вмещает $70$ человек. Разделим $885$ на $70$ с остатком (деление с остатком можно проводить в столбик). Получится $12$ и $45$ в остатке.

В вычислительных задачах нужно обязательно проверять ответ — это значительно уменьшит риск арифметической ошибки. Проверяем деление умножением: $12·70+45=840+45=885$.

Получаем, что $12$ шлюпок недостаточно, чтобы вместить всех, а $13$ — достаточно.

В следующих упражнениях определите, как следует округлить результат деления — с недостатком или с избытком.

В доме, в котором живет Витя, $9$ этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по $4$ квартиры. Витя живет в квартире №$128$. В каком подъезде живет Витя?

В университетскую библиотеку привезли новые учебники по высшей алгебре для $1$-$2$ курсов, по $260$ штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу $5$ полок, на каждой полке помещается $20$ учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

Округление до ближайшего целого

В описанных задачах направление округления следовало из смысла задачи. А как быть с задачами, в которых требуется округлить до ближайшего целого?

При округлении до ближайшего целого используйте следующее правило:

Если дробная часть (все цифры, идущие после запятой) начинается с цифр от $0$ до $4$, то дробная часть отбрасывается, а целая часть остается без изменений. Если дробная часть начинается с цифр от $5$ до $9$, то дробная часть тоже отбрасывается, но к целой части добавляется $1$.

Округление обозначается значком $≈$. Например $0,35≈0$, а $12,78≈13$.

Диагональ экрана ноутбука равна $13$ дюймов. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме $2,54$ см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

Умножим $13$ дюймов на $2,54$ см на дюйм: $13· 2,54= 10· 2,54+3· 2,54=25,4+7,62=33,02$ см.

Теперь нужно округлить до ближайшего целого. Легко видеть, что ближайшее целое — это $33$. Математически это записывается так: $33,02≈33$.

Смысл округления до ближайшего целого в том, что все числа, для которых ближайшее число находится снизу, округляются вниз, а для которых сверху — вверх.

Исключение составляют полуцелые числа, такие как $1,5$ или $-2,5$. Они одинаково близки к целому числу снизу и сверху. Математики пришли к соглашению, что такое число следует округлять в сторону большего числа (видимо, среди них большинство оказалось оптимистами). Например, $1,5≈2$.

Округлите с помощью этого правила число $-2,5$

Поскольку $-2>-3$ (число $-2$ находится правее на числовой оси, чем $-3$), то при округлении получим $-2$.

Округление до $k$-го знака

А что делать, если нам необходимо округлить до $k$-го знака после запятой? Например, до десятых ($1$ знак после запятой) или до сотых ($2$ знака после запятой).

Правило округления здесь аналогичное:

Отбрасываем все, что идет после $k$-го знака. Затем, если в $(k+1)$-м разряде стояла цифра, большая или равная пяти, то прибавляем единицу к $k$-му знаку (если там девятка, то в $k$-м разряде пишется $0$, а единица переходит в $(k-1)$-й разряд).

Примеры округления одного и того же числа до разных знаков:

До целых: $4,496=4,|↖{+0} 496≈4$;

до десятых: $4,496=4,4|↖{+1}96≈4,5$;

до сотых: $4,496=4,49|↖{+1}6≈4,50$.

В последнем примере важно писать ноль в конце, чтобы было $2$ знака после запятой. Тогда становится понятно, до какого знака было произведено округление. Если, скажем, инженер узнает, что сила тока в цепи была приблизительно равна $1$ А, то он может подумать, что более точное измерение может дать $0,8$ А или $1,2$ А. Если же ему сообщили, что сила тока равна $1,00$ А, то становится ясно, что сила тока была измерена более точно и отклонение может составлять не более $0,005$ А.

В заключение решите пример:

Округлите число $π=3,1415926536...$ до тысячных.

Заключение