Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Арифметическая и геометрическая прогрессии




Что нужно знать

Что вы узнаете

В жизни мы часто сталкиваемся с числовыми последовательностями. Например, средняя температура воздуха для каждого дня в сентябре или расходы на транспорт в каждом месяце года.

Пусть каждому натуральному числу $n$ поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число $a_n$ (при этом разным натуральным числам $n$ могут соответствовать и одинаковые действительные числа). Тогда можно сказать, что задана числовая последовательность $a_1, a_2, a_3, ....$ Другое обозначение: $\{a_n\}_{n}^{∞}_{=1}$.

Последовательности, о которых пойдет речь в данной главе, обладают интересными свойствами: очередной член последовательности можно вычислить, зная предыдущий член, по определенной формуле. Если использовать свойства этих последовательностей, то многие задачи математики, физики и экономики значительно упрощаются.

Начнем с арифметической прогрессии.

Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность вида $a_1, a_1+d, a_1+2d, ..., a_1+nd, ...$,
то есть это последовательность чисел, каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа $d$ (разности арифметической прогрессии): $a_n=a_{n-1}+d$.

Конечный отрезок такой последовательности называется конечной арифметической прогрессией, или просто арифметической прогрессией.

Для любой пары идущих подряд членов последовательности $a_k$ и $a_{k+1}$ их разность равна одному и тому же числу: $a_{k+1}-a_k=d$.

Например, последовательность $4, 6, 8, 10, 12$ является арифметической прогрессией с разностью $2$. Это возрастающая арифметическая прогрессия.

Последовательность $3, 2, 1, 0, -1$ является арифметической прогрессией с разностью $-1$. Это убывающая арифметическая прогрессия.

Является ли следующая последовательность арифметической прогрессией: $1,-1,2,-2,3,-3$?

Если рассмотреть первые члены прогрессии: $a_1=1$, $a_2=-1$ и $a_3=2$, — то разность двух первых членов равна $a_2-a_1=-1-1=-2$, а разность третьего и второго равна $a_3-a_2=2-(-1)=3$. Однако в арифметической прогрессии разность должна быть одинаковой для любой пары соседних членов, значит это не арифметическая прогрессия.

Как найти произвольный член прогрессии?

Если нам известна разность и первый член арифметической прогрессии, то мы легко можем найти любой другой член этой прогрессии. В самом деле, $a_2=a_1+d$, $a_3=a_2+d=a_1+2d$, $a_4=a_3+d=a_1+3d$ и т.д. $k$-й член мы можем найти по формуле:

$$a_k=a_1+(k-1)d.$$

Например, если последовательность содержит $2013$ членов или больше, то $a_{2013}=a_1+2012· d$.

Найдите $1001$-й член арифметической прогрессии $7, 17, 27, ...$.

Найдем разность: $d=17-7=10;$
$a_1001=a_1+1000 d=7+1000· 10=10007.$

Если мы знаем не $1$-й, а скажем, $10$-й член прогрессии, то мы также можем найти любой другой член, если нам известна разность. Например, если мы хотим найти $18$-й член, то мы можем воспользоваться тем, что $a_18=a_10+8d$.

Следующая формула связывает два произвольных члена прогрессии:

$$a_n=a_k+(n-k)d.$$

Найдите $2$-й член прогрессии, если известно, что $12$-й член равен $25$, а разность равна $2$.

$a_2=a_12+(2-12)d=25-10· 2=5.$

Как найти разность арифметической прогрессии?

Используя последнюю формулу, мы легко можем найти разность прогрессии, зная любые два ее члена. В самом деле, из формулы $a_n=a_k+(n-k)d$ следует такая формула:

$$d={a_n-a_k}/{n-k}.$$

А теперь решите простую задачу на прогрессии (для этого сначала запишите условие задачи в виде формулы арифметической прогрессии):

Гермиона в первый день учебы в Хогвартсе выучила одно заклинание и каждый день выучивает на некоторое число заклинаний больше, чем в предыдущий день. На $8$-й день она выучила $15$ заклинаний. На сколько заклинаний больше она выучивает каждый день?

В условии напрямую не сказано, что речь идет об арифметической прогрессии, но мы легко можем это понять, поскольку количество заклинаний, которые выучивает Гермиона, увеличивается каждый день на одно и то же число.

Первый член прогрессии: $a_1=1$. Последний член: $a_8=15$. Требуется найти разность $d$.
Применим формулу для разности арифметической прогрессии:
$$d={a_8-a_1}/{8-1}={15-1}/7=2.$$

Запомните следующее простое правило:

Если в задаче происходит увеличение определенной величины на одно и то же число, то речь идет об арифметической прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Рассмотрим некоторую арифметическую прогрессию, например: $a_1=2, a_2=5, a_3=8, a_4=11, ...$. Для любого $n≥2$, $(n+1)$-й член прогрессии больше $n$-го на $d=3$, а $n$-й член больше $(n-1)$-го тоже на $d=3$. Поэтому $n$-й член равен среднему арифметическому $(n-1)$-го и $(n+1)$-го членов.

Несложно проверить, что выполняется следующее утверждение:

Последовательность $a_1, a_2, a_3, ...$ является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда $a_n={a_{n-1}+a_{n+1} }/2$ для любого $n≥2$.

Выполняется и более общее свойство: $a_n={a_{n-k}+a_{n+k} }/2$, где $n>k$.

$1$-й член арифметической прогрессии равен $-18$, а $101$-й равен $218$. Чему равен $51$-й член?

Воспользуемся приведенной выше формулой для $n=51$ и $k=50$: $a_{51}={a_1+a_{101} }/2={-18+218}/2=100$.

Сумма первых $n$ членов арфиметической прогрессии

Еще одна формула, которая часто бывает полезна:

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии: $a_1+a_2+...+a_n={a_1+a_n}/2· n.$

Если вы разберетесь, как выводится эта формула, то запомнить ее будет гораздо легче.

Первый и последний член дают в сумме $a_1+a_n$. Второй и предпоследний — тоже $a_1+a_n$, поскольку $a_2+a_{n-1}=a_1+d+a_n-d=a_1+a_n$. Точно так же третий член прогрессии и третий с конца член прогрессии дают $a_1+a_n$ и т.д.
Возможны два случая:
1) Если в прогрессии четное число членов, то все они разбиваются на пары $(a_k,a_{n-k})$, $k=1,…,n/2$, где сумма членов в каждой паре равна $a_1+a_n$. Поскольку пар всего $n/2$, то сумма всех чисел прогрессии равна $(a_1+a_n)· n/2$.
2) Если в прогрессии нечетное число членов, то все, кроме одного (центрального) члена, разбиваются на пары $(a_k,a_{n-k})$, $k=1,…,{n-1}/2$, с суммой, равной $a_1+a_n$. Всего получается ${n-1}/2$ таких пар. Центральный член (член номер ${n+1}/2$) равен ${a_1+a_n}/2$ (среднее для первого и последнего члена прогрессии). Тогда сумма арифметической прогрессии равна $a_1+a_2+...+a_n=(a_1+a_n)· {n-1}/2+{a_1+a_n}/2=(a_1+a_n)· n/2$.

Таким образом, зная только первый и последний члены прогрессии, мы можем найти ее сумму по формуле:

$$S=(a_1+a_n)·{n}/2 .$$

А что если мы знаем только первый член прогрессии и разность прогрессии? Тогда мы можем выразить $a_n$ через $a_1$ и $d$ и подставить в формулу для суммы:
$S=(a_1+a_n)· n/2=(a_1+a_1+(n-1)d)· n/2={na_1}/2+d· {n(n-1)}/2 .$

Важным частным случаем формулы суммы арифметической прогрессии является формула суммы первых $n$ натуральных чисел: $1+2+...+n={n(n+1)}/2$.

Карл Фридрих Гаусс, ставший впоследствии великим математиком, самостоятельно вывел эту формулу на уроке арифметики в школе. Желая занять детей на долгое время, учитель предложил им сосчитать сумму чисел от $1$ до $100$. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: $1+100=101$, $2+99=101$ и т.д., и мгновенно получил результат $50·101=5050$.

Заметим, что Гаусс использовал при подсчете тот же самый метод, что мы использовали при доказательстве формулы для суммы арифметической прогрессии.

При решении следующей задачи используйте формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

Студент Петров должен решить $640$ задач, чтобы хорошо подготовиться к экзамену. Петров относится к тому типу людей, которые все делают в последний момент, поэтому его беспокойство возрастает по мере приближения даты экзамена. Растущее беспокойство заставляет его решать каждый следующий день на определенное число задач больше, чем он решил в предыдущий день. Известно, что он в первый день решил всего $10$ задач, но все-таки успел подготовиться к экзамену.

Определите, сколько задач Петров решил в четвертый день, если вся подготовка заняла 16 дней.

Это задача на арифметическую прогрессию (количество задач, решенных каждый день, увеличивается на одно и то же число). Запишем условие в терминах арифметической прогрессии:
$a_1=10; S=a_1+...+a_16=640.$ Необходимо найти $a_4$.

Чтобы найти $a_4$, нам нужно знать разность прогрессии, а чтобы найти разность, нам нужно знать какие-нибудь два члена прогрессии. Но мы знаем только первый член и сумму прогрессии. Выпишем формулу для суммы (в надежде на то, что это поможет нам найти недостающие величины).

Прогрессия состоит из шестнадцати членов, поэтому
$S=(a_1+a_16)· 16/2=8(a_1+a_{16}) .$
Подставим известные из условия значения $a_1$ и $S$:
$640=8(10+a_16).$

Находим $a_16$:
$80=10+a_16;$
$a_16=70.$

Мы близки к решению. Найдем разность прогрессии $d$:
$d={a_16-a_1}/15={70-10}/15=4.$

Теперь вычислим $a_4$:
$a_4=a_1+3· d= 10+ 3· 4=22.$

Конечно, способность Петрова концентрироваться в решающий момент поражает! Хорошо еще, что количество задач, которые он решал, росло в арифметической, а не в геометрической прогрессии...

Геометрическая прогрессия

Если в арифметической прогрессии каждый член больше (или меньше) предыдущего на определенное число, то в геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением на одно и то же число $q$.

Например, $b_k$ больше чем $b_{k-1}$ в $1,5$ раза для всех $k≥2$ — это геометрическая прогрессия.

Последовательность чисел $b_1,b_2,...,b_n$ называется геометрической прогрессией, если $b_1≠0$ и найдется такое число $q≠0$, называемое знаменателем прогрессии, что $b_2=b_1· q$, $\,\,b_3=b_2· q$, ..., $\,\,b_n=b_{n-1}· q$.

Знаменатель может быть и отрицательным числом. Например, последовательность $1,-1,1,-1,1$ — это геометрическая прогрессия со знаменателем $-1$.

Выберите из перечисленных ниже последовательностей геометрическую прогрессию:

Задачи на геометрические прогрессии во многом аналогичны задачам на арифметические прогрессии. В формулах сложение заменяется умножением, а умножение на $k$ — возведением в степень $k$. В частности, выполняется равенство:

$$b_n=b_k· q^{n-k}.$$

Из этой формулы следует такое равенство:

$$|q|=√^{k-1}{b_k / b_1}=({b_k}/{b_1})^{1/{k-1}}.$$

А теперь ответьте на вопрос на понимание. К какому типу относится такая последовательность, в которой первый член равен $100$, а каждый следующий член последовательности больше предыдущего на $20%$?

Пусть вас не смущает, что в описании последовательности есть словосочетание “больше на”. "Больше на $20%$" означает увеличение в $1,2$ раза.

Если мы выпишем первые несколько членов описанной прогрессии, то получится, что первый член равен $b_1=100$, второй на $20%$ больше первого: $b_2=120$, третий на $20%$ больше второго: $b_3=120+20%· 120=1,2· 120=144$ и т.д. Каждый следующий член больше предыдущего в $1,2$ раза. Поэтому это задача на геометрическую прогрессию.

Более подробно о процентах можете узнать здесь: Проценты

Решите теперь следующую задачу:

Благодаря успешным продажам ноутбуков, телефонов и планшетников, акции компании Apple с $2004$ по $2012$ годы росли в геометрической прогрессии. Каждые два года акция росла в цене на $100%$.

Чему была равна стоимость акции в $2004$ году, если в $2012$ акция стоила $480$ долларов США за штуку?

Мы рассмотрим котировки акций в $2004$, $2006$, $2008$, $2010$ и в $2012$ годах. Они образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель прогрессии равен $2$, поскольку рост на $100%$ означает рост в $2$ раза. Нам известен последний, пятый, член прогрессии. Выполняется равенство: $b_5=b_1·2^4$. Найдем $1$-й член прогрессии: $b_1=b_5 · 1/{2^4}=480/16=30.$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии

Среди задач B13 ЕГЭ не бывает задач на сумму геометрической прогрессии. Однако эту тему полезно знать для решения более сложных экзаменационных и практических задач.

Формула суммы геометрической прогрессии оказывается очень полезной для решения практических задач, особенно в области финансов.

Например, если выручка компании увеличивается каждый год на определенный процент, то суммарная выручка за $10$ лет — это сумма геометрической прогрессии.

Сумму геометрической прогрессии со знаменателем $q≠1$ можно найти по формуле:

$$b_1+...+b_n=b_1· {1-q^n}/{1-q}.$$

Доказать эту формулу несколько сложнее, чем формулу суммы арифметической прогрессии. Тем не менее полезно познакомиться с ее доказательством.

Докажем утверждение по индукции.

Метод математической индукции позволяет доказывать и значительно более сложные утверждения.

Начнем с базы индукции. Если $n=1$, то равенство очевидно: $b_1=b_1· {1-q}/{1-q}$.
Осуществим переход индукции. Предположим, что утверждение доказано нами для прогрессий длины $n≥1$. Покажем, что оно верно для прогрессии длины $n+1$: нам нужно доказать, что $b_1+...+b_{n+1} =b_1· {1-q^{n+1} }/{1-q}.$ Итак, в выражении $b_1+...b_{n+1}$ нам известно, чему равна сумма первых $n$ членов (по предположению индукции): $b_1+...b_n=b_1· {1-q^n}/{1-q}$. Последний член прогрессии равен $b_{n+1}=b_1· q^{n}$. Тогда
$$b_1+...b_{n+1}=b_1· {1-q^n}/{1-q}+b_1· q^{n}=b_1· {1-q^n+q^n(1-q)}/{1-q}=b_1· {1-q^{n+1} }/{1-q}.$$
Переход доказан.

Решите задачу с помощью этой формулы:

Компания каждый год выплачивает акционерам определенную постоянную долю прибыли в виде дивидендов. В $2009$ году она выплатила $10$ рублей дивидендов на каждую акцию. Сколько она выплатила за $5$ лет с $2009$ по $2013$ год при условии, что прибыль компании росла на $100%$ в год, а число акций оставалось неизменным?

Если компания выплачивает всегда одну и ту же долю прибыли акционерам, то если прибыль растет в геометрической прогрессии, то и дивиденды будут расти в геометрической прогрессии. При этом они распределяются между некоторым постоянным числом акций, поэтому дивиденды на одну акцию также растут в геометрической прогрессии.
Нам необходимо найти сумму геометрической прогрессии, состоящей из $5$ членов. Знаменатель $q$ прогрессии равен $2$, а первый член $b_1=10$.
Воспользуемся формулой суммы:
$$b_1+...+b_5=b_1·{1-q^5}/{1-q}=10· {1-2^5}/{1-2}=10· {-31}/{-1}=310.$$

Дисконтированный денежный поток (дополнительно)

Еще одно важное применение геометрической прогрессии в финансах — расчет суммы приведенных (дисконтированных) денежных потоков. Если вы усвоите этот принцип, вам будет понятно, как финансисты рассчитывают справедливую стоимость актива (не важно, какого: акции, слитка золота, выданного кредита или даже коровы, которая дает молоко).

Мы называем денежным потоком любую сумму денег, которую получает (или планирует получить) человек или фирма в определенный период времени (например, в течение $2015$ года). Будем называть человека, который ожидает получить денежный поток инвестором.

Представьте, что у вас есть выбор: получить $1000$ рублей прямо сейчас или $1000$ рублей через год. Что вы выберете?

Конечно же, прямо сейчас! Даже если вам не на что тратить эти деньги прямо сейчас, вы можете положить их в банк под процент и через год получить уже больше, чем $1000$ рублей. Например, если банк принимает депозиты под $10%$ годовых, через год у вас будет $1100$ рублей.

Получаем, что $1000$ рублей сегодня стоят дороже, чем $1000$ рублей через год! Насколько дороже, зависит от тех вариантов вложения, которые у вас имеются. Но в любом случае найдется такое число $d$, что $1$ рубль сегодня равен $1+d$ рублей через год.

Если $1$ рубль сегодня инвесторы готовы отдать за право получить $1+d$ рублей через год, то $d$ называется ставкой дисконтирования.

Иначе говоря, если $d$ — ставка дисконтирования, то право получить один рубль через год будет стоить $1/{1+d}$, рубль через $2$ года — $1/{(1+d)^2}$, через $10$ лет — $1/{(1+d)^10}$.

Пусть инвестор получает платеж $D_0$ немедленно, $D_1$ через год, $D_2$ через $2$ года, …, $D_n$ через $n$ лет. Пусть ставка дисконтирования равна $d$. Тогда величина $S=D_{0} + D_1/{1+d}+D_2/{(1+d)^2}+…+D_n/{(1+d)^n}$ называется суммой дисконтированных денежных потоков.

Смысл этой величины в том, что инвестору все равно, получит он $S$ сейчас (сразу) или платежи $D_0$, $D_1$, ..., $D_n$ в будущем (каждый в свой год).

Например, предположим, что предприниматель хочет получить финансирование для проекта, который через год принесет $120$ млн. руб., а через $2$ года — $144$ млн. руб., и больше никаких денежных потоков не предвидится. Если ставка дисконтирования равна $20%$, то инвестор будет готов вложить в этот проект не больше, чем $S=120/{1,2}+144/{(1,2)^2}=200$. Причем он будет готов вложить эти деньги только если получит всю прибыль от будущего проекта.

Рассмотрим еще один пример:

Пусть добывающая компания планирует открыть новый рудник по добыче калийной соли. Как только рудник будет оборудован, он начнет приносить доход $D$ рублей. Предположим, что цены на соль будут расти таким же темпом, как и цены на все остальные товары (то есть с темпом инфляции), ставка дисконтирования равна $d$, а срок жизни рудника — $n$ лет. Какая максимальная сумма инвестиций будет приемлемой, чтобы начать такой проект? Иными словами, какой дисконтированный денежный поток принесет рудник?

Рудник будет приносить $D$ рублей каждый год. Но $D$ через один год будет для нас сегодня стоить $D/{1+d}$, через $2$ года — $D/{(1+d)^2}$ и т.д. Если сложить дисконтированный доход за весь срок жизни рудника, получим:
$$S=D/{1+d}+D/{(1+d)^2}+...+D/{(1+d)^n}.$$
Это сумма геометрической прогрессии. Знаменатель прогрессии равен $q=1/{1+d}$, а первый член равен $D/{1+d}$.Тогда сумма прогрессии равна:
$$S=D/{1+d}· {1-q^n}/{1-q}=D/{1+d}· {1-(1/{1+d})^n}/{1-1/{1+d} }.$$

Бесконечная геометрическая прогрессия

Если бы рудник из предыдущей задачи приносил деньги вечно, то мы бы получили бесконечную геометрическую прогрессию. Сумма бесконечной геометрической прогрессии будет конечно, если каждый следующий член меньше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии меньше 1.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $q<1$ равна $b_1+b_2+...=b_1/{1-q}$.

Заметим, что выражение $b_1/{1-q}$ получится, если в формуле конечной геометрической прогрессии $b_1· {1-q^n}/{1-q}$ заменить $q^n$ на $0$. Это не случайно. Если $n$ достаточно велико, то сумма первых $n$ членов прогрессии будет близка к сумме всей прогрессии. При этом величина $q^n$ при $q<1$ будет достаточно мала. Математики говорят, что в пределе, при $n$, стремящемся к бесконечности, $q^n$ стремится к нулю. Отсюда и получается эта формула.

Получается, что дисконтированный денежный поток от “вечного" рудника составит $D/{1+d}· 1/{1-1/{1+d} }=D/{1+d}· {1+d}/{d}=D/d.$

Чему будет равен дисконтированный денежный поток, если в условиях предыдущей задачи ежегодный доход равен $100$ млн. рублей в год, а ставка дисконтирования равна $10%$? млн. рублей

По формуле дисконтированный денежный поток равен $D/d=100/{10%}=100/{0,1}=1000 \,\,(млн. руб.).$

Это и есть максимальный сумма, которую инвестор будет готов заплатить за право получать прибыль от этого рудника.

Заключение

Задачи с арифметическими и геометрическими прогрессиями часто встречаются на практике. Если в условии говорится об увеличении на одну и ту же величину, то речь идет об арифметической прогрессии. Если же происходит увеличение в одно и то же число раз, либо на одно и то же число процентов, то речь идет о геометрической прогрессии.

Следующие формулы позволяют решить практически любую задачу на прогрессии:

Арифметрическая прогрессия

$$a_k=a_1+(k-1)d;$$$$d={a_n+a_k}/{n-k};$$$$a_1+a_2+…+a_n=(a_1+a_n)·{n}/2={2a_1+(n-1)d}/2;$$

Геометрическая прогрессия$$b_k=b_1· q^{k-1};$$$$|q|=√^{n-k}{b_n/b_k}, n>k;$$$$b_1+...+b_n=b_1· {1-q^n}/{1-q}.$$