Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Проценты

Что нужно знать

Действия с дробями

Что вы узнаете

Что такое проценты?

Процент — это одна сотая от чего-либо.

Если мы говорим, что число $y$ составляет $1%$ от числа $x$, то это значит, что число $y$ — это одна сотая от числа $x$: $\,\,y=1/100·x$. Если число $y$ составляет $a$ процентов от $x$, то нужно умножить $a/100$ на $x$: $\,\,y=a/100·x$.

Найдите $10%$ от $20$.

$10%· 20 = 10/100 · 20 = 20/10=2.$

В некоторых задачах необходимо уметь переводить дроби в проценты. Разберем следующую задачу:

Мобильный телефон стоил $5000$ рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до $3750$ рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Снижение составило $5000 - 3750=1250$ рублей. $1250$ рублей составляет от $5000$ рублей одну четвертую: $1250/5000=1/4$.

Теперь дробь $1/4$ необходимо перевести в проценты, поскольку в условии спрашивается, на сколько процентов была снижена цена.

$1/4$ соответствует $25%$, поскольку $25/100=1/4$.

Полезно помнить соответствие некоторых дробей процентам (эти значения легко запоминаются, если решить несколько задач с этими числами):

$$10%= 10/100 = 1/10;$$$$20% = 20/100 = 1/5;$$$$25% = 25/100= 1/4;$$$$50% = 50/100 = 1/2;$$$$75% = 75/100 = 3/4;$$$$100% = 100/100 = 1.$$

Значения, приведенные в таблице, полезно знать наизусть, поскольку это поможет сэкономить время при решении задач. В таблице указаны значения в процентах далеко не для всех дробей, встречающихся в задачах. Поэтому важно помнить, что проценты — это количество сотых долей.

Чтобы перевести дробь в проценты, нужно преобразовать ее в такую дробь, в знаменателе которой стоит число $100$.

Для этого нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такой множитель, чтобы в знаменателе появилось $100$.

Например, в дроби $3/5$ нужно умножить знаменатель, равный пяти, на $20$, чтобы получить $100$: $3/5 = {3· 20}/{5·20} = 60/100 = 60%$.

Если перевести в проценты число большее, чем $1$, то получится больше, чем $100%$. Например, $2=200%$. Кроме того, иногда может получиться дробное число процентов. Например, ${556}/{1000}=55,6%$.

Переведите дробь $7/2$ в проценты. %

$7/2={7· 50}/{2·50}=350/100=350%.$

Увеличение и уменьшение числа на определенное число процентов

А что если необходимо определить, чему будет равна величина, увеличенная на сколько-то процентов?

Верно ли следующее утверждение:

Поскольку $2/5=40%$, то увеличение числа $10$ на $40%$ — это величина $10+2/5=10 2/5= 10,4$.

Когда мы говорим об увеличении числа $x$ на $40%$, то имеется в виду увеличение числа $x$ на $40%$ от числа $x$. Результат такого увеличения: $x+40%· x=(1+40/100)·x=1,4x$. Тогда результат увеличения числа $10$ на $40%$ — это $14$.

Аналогично, если мы говорим об уменьшении числа на $25%$, то имеется в виду: $x-25%· x=0,75 x$.

Решите следующую задачу:

Нефть марки Брент торговалась на бирже по $120$ долл. за баррель нефти. После выхода новости о запасах нефти в США цена на нефть упала на $10%$. Чему стала равна новая цена на нефть?

Цена после снижения равна $120 - 120· 10%=120 -120· 10/100=120-12=108$ долларов.

Иногда в задачах на проценты требуется составить и решить пропорцию.

Пропорция — это равенство двух отношений, то есть равенство вида $a/b=c/d$.

В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: $ad=bc$.

Это правило иногда называют правилом пропорции. Оно позволяет вычислить любой член пропорции, если остальные известны. Например, если $d$ — неизвестная величина, то, поделив обе части этого равенства на $a$, мы получим равенство $d={bc}/a$.

Решите теперь такую задачу:

По окончании распродажи в торговом центре цена на футболку выросла на $25%$ и составила $200$ рублей. Чему была равна цена во время распродажи?

Цена выросла на $25%$ по сравнению с ценой во время распродажи. Это значит, что после распродажи цена футболки составляла $125%$ от цены распродажи. Если цена распродажи была равна $x$, то после распродажи она составила $125% x$, или $200$ рублей.
Чтобы найти $x$, составим пропорцию:
$${125%}/{100%}=200/x;$$
откуда $x={200· 100%}/{125%}.$
Получаем, что $x={200· 100}/125={200· 4}/5=800/5=160$ (руб.).

Важно понимать, от какой величины берутся проценты. Обратите внимание на то, что в условии следующей задачи проценты берутся от двух разных величин:

На планете Пандора $100\,000$ жителей: люди и представители гуманоидной расы На’ви. На’ви составляют $80%$ населения Пандоры. Из людей $40%$ заняты обслуживанием станции, остальные добывают анобтаниум. Сколько человек добывают анобтаниум?

При решении этой задачи легко ошибиться, если не разобраться, от какой величины берутся проценты. Жители На’ви составляют $80%$ всех жителей, то есть их $80\,000$. Люди, занятые обслуживанием станции, составляют $40%$ от общего числа людей, то есть от оставшихся $100\,000-80\,000 =20\,000$ жителей. Получаем, что станцию обслуживает $40%· 20\,000=8\,000$ человек. Все оставшиеся люди добывают анобтаниум. Их $20\,000 - 8\,000 = 12\,000$ человек.

Многократное изменение величины на несколько процентов

Когда мы говорим, что величина $x$ увеличилась на какое-то число, например на $100$, то имеется в виду $x+100$. Это абсолютное изменение. Другими словами, чему бы ни был равен $x$, увеличение составит $100$. Например, $18+100$; $99,9+100$; $a+100$ и т.д.

Если же мы говорим, что величина увеличилась на $20%$, то мы имеем в виду величину $x+20%·x$. Это относительное изменение. Это значит, что, чем больше $x$, тем на большую величину увеличивается $x$.

Относительное изменение имеется в виду каждый раз, когда мы говорим “величина увеличилась на треть”, “величина уменьшилась на одну десятую” или "величина увеличилась на $5%$".

Есть еще одно существенное отличие относительного изменения от абсолютного: если мы увеличим $x$ на $20%$, а затем еще раз на $20%$, то общее увеличение составит $44%$, а вовсе не $40%$! В самом деле, сначала мы получим $x+20%·x=1,2x$, а затем $$1,2x+20%· 1,2x=1,2·1,2· x=1,44 x{,}$$что соответствует увеличению на $44%$.

Если в задаче сказано, что величина $x$ изменяется на какое-то количество процентов несколько раз, то проценты нельзя просто сложить. Вместо этого нужно использовать умножение.

Стандартная премия Василия Кузьмича за квартал составляет $10\,000$ рублей. Начальник обещал всем увеличить премию на $20%$, поскольку завод превысил норму по выработке. При этом он решил оштрафовать Василия Кузьмича на $20%$ итоговой премии за прогул. Какую премию получит Василий Кузьмич, если начальник сдержит свои обещания?

Нужно умножить $10\,000$ на $1,2$ (рост на $20%$), а затем результат умножить на $0,8$ (после штрафа останется $100%-20%=80%$ премии). Получим: $10\,000 · 1,2 · 0,8=12\,000 · 0,8= 9\,600$.

Василий Кузьмич, должно быть, призадумался, почему это $20%$, на которые его оштрафовали, оказались больше, чем те $20%$, на которые его премировали... Все дело в том, что дополнительная премия — это $20%$ от стандартной премии, а штраф — это $20%$ от увеличенной. Вот такая арифметика!

Важный практический пример многократного изменения величины на определенное число процентов — это сложные проценты, которые используются при вычислении общей суммы депозита в банке на несколько лет.

Если проценты по депозитному вкладу не выплачиваются вкладчику в конце года, а добавляются к сумме депозита, то в конце срока вкладчик не только получит проценты по основной части вклада, но и проценты на полученные ранее проценты. В этом случае говорят, что это вклад с капитализацией процентов.

Например, если вкладчик вложил $100\,000$ рублей на $5$ лет по ставке $10%$, то в конце первого года размер счета составит $100\,000·(1+10%)=110\,000$ рублей. В конце второго года сумма на счете будет еще на $10%$ больше: $100\,000·(1+10%)^2=121\,000$ рублей. В конце всего срока он получит: $100\, 000·(1+10%)^5=100\,000·1,1^5≈161\, 051$ рубль. Это на целых $11\,051$ рублей больше, чем он бы получил, если бы на выплаченные ранее проценты доход не начислялся.

Миссис Смит положила аванс за очередной заказ в $10\,000$ долларов на депозит, со ставкой $5%$ годовых и капитализацией процентов на $2$ года, а мистер Смит положил $10\,000$ долларов тоже по ставке $5%$ и на $2$ года, но без капитализации. На сколько долларов больше получит миссис Смит в конце срока депозита?

Миссис Смит получит $10\,000·1,05^2=11\,025$, а миссис Смит — $10\,000+2·10\.000·5%=11\,000$. Таким образом миссис Смит получит на $25$ долларов больше.

Различные задачи с использованием процентов рассматриваются в уроке Проценты, смеси и сплавы.