Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Проценты, смеси и сплавы

Что нужно знать

Что вы узнаете

Задачи с процентами часто встречаются в повседневной жизни. Методы, изложенные в этом уроке, позволят вам научиться решать, например, такие задачи:

Рынок акций за $2$ года вырос на $21%$. Чему был равен среднегодовой темп роста рынка?

Концентрация соли в $2$ литрах супа была $0,02%$. После этого бабушка долила $1$ литр воды. Сколько соли должна добавить бабушка, чтобы концентрация составила $0,03%$?

Во многих задачах потребуется не просто произвести вычисления, но составить и решить уравнение.

Начнем главу с разбора задач на проценты. Более простые задачи разобраны в уроке Проценты.

Простые задачи с процентами

Напомним, что $p%$ от числа $x$ — это величина $p/100·x$. Например, $25%$ от $20$ — это величина $25/100·20=1/4·20=5$.

Число $x$, увеличенное на $p%$, — это число $(1+p%)·x={p+100}/{100}·x$.

Что получится, если $40$ увеличить на $20%$?

Если $40$ увеличится на $20%$, то получится $40+20%·40=1,2·40=48$.

Что получится, если число $8$ сначала увеличить на $50%$, а затем уменьшить на $50%$?

При увеличении на $50%$ получим $8·(1+50%)=8·1,5=12$. При уменьшении результата на $50%$ получим $12·(1-50%)=12·0,5=6$.

Чему равно $20%·25%$? %

Переведем проценты в дроби, чтобы выполнить умножение: $20%·25%=1/4·1/5=1/20=5%$.

Если эти упражнения показались вам трудными, пройдите урок Проценты.

Разберем задачу с процентами, в которой нам необходимо будет составить уравнение.

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они подешевели на $4%$ с момента открытия торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Эта задача требует составления уравнения. В качестве переменной $x$ удобно выбрать процент, на который увеличилась стоимости акций в понедельник. Эту величину и надо найти в задаче.

Обозначим цену акции на момент открытия торгов в понедельник через $P$. В понедельник цена акции возросла на $x\,%$ и по окончании торгов составила $P(1+x%)$.

Во вторник акции подешевели на $x\,%$. Это значит, что по итогам вторника их цена была равна $P(1+x%)(1-x%)$.

По условию акция через $2$ дня стоила на $4%$ дешевле, то есть ее стоимость была равной $P·(1-4%)$. Поэтому мы можем записать уравнение:

$$P(1-4%)=P(1+x%)(1-x%).$$

На $P$ можно сократить:

$$1-4%=(1+x%)(1-x%).$$

Если уравнение содержит проценты, замените проценты на дроби по формуле $x%=x/100$, чтобы избежать ошибки при работе с ними. Особенно это помогает, если в одном выражении встречаются и проценты, и дроби.

Избавимся от процентов:

$(1+x%)(1-x%)=(1+x/100)(1-x/100)=1-(x/100)^2;$

$1-4/100=1-(x/100)^2;$

$(x/100)^2=4/100;$

$x^2=400;$

$x=±20.$

Отрицательный корень нас не интересует, поскольку по условию цена в понедельник увеличилась. Поэтому акции в понедельник подорожали на $20%$.

После получения ответа в задаче полезно выполнить проверку.

Если цена акции выросла на $20%$ в понедельник, а затем упала на $20%$, то результат будет равен $P(1+20%)(1-20%)=P·1,2·0,8=P·0,96=P(1-4%)$. Все сходится!

В задачах с процентами следуйте следующей схеме:

1) Выберите переменную (обычно величина, про которую спрашивается в задаче);

2) Составьте уравнение по условию;

3) Замените проценты на дроби;

4) Решите уравнение;

5) Проверьте ответ.

Задачи на уравнения с двумя переменными

Некоторые стандартные задачи с процентами требуют введения нескольких переменных. В этом случае задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Семья Симпсонов состоит из пяти человек: мужа (Гомер), жены (Мардж) и их детей (Лиза, Барт и Мэгги). Гомер работает на Спрингфилдской АЭС, Мардж управляет бизнесом по производству сушек, а Лиза получает стипендию за отличную учебу. Больше никто никакого дохода в семейный бюджет не приносит. Если бы зарплата Гомера увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на $57%$. Если бы стипендия Лизы уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на $4%$. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет доход Мардж?

На первый взгляд в этой задаче неизвестны $3$ величины: доход Гомера, Мардж и Лизы. Но поскольку нас интересуют доли, которые они составляют в семейном бюджете, количество неизвестных можно сократить до двух. В самом деле, мы можем обозначить доли дохода мужа и жены через $x%$ и $y%$ соответственно. Тогда доход дочери будет составлять $1-x%-y%$ бюджета. При переходе к долям мы получим тот же самый результат, как если мы примем семейный бюджет за единицу.

Запишем равенство, соответствующее каждому из условий задачи.

"Если бы зарплата Гомера увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на $57%$":

$2·x%+y%+(1-x%-y%)=1+57%.$

"Если бы стипендия Лизы уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на $4%$":

$x%+y%+{1-x%-y%}/2=1-4%.$

Избавимся от процентов, умножив оба равенства на $100$, и запишем систему уравнений:

$$\{\table 2·x+y+(100-x-y), = 157{,}; x+ y+1/2(100-x-y), = 96{;}$$

Упростим:

$$\{\table x+100, = 157{,}; 1/2(100+x+y), = 96{;};$$

Теперь решим систему. Первое уравнение позволяет выразить $x$:

$$x=157-100=57.$$

Подставим $x$ во второе уравнение и решим его:

$$1/2(100+57+y) = 96;$$

$$y = 2·96-100-57=192-100-57=35.$$

Ответ: доход Мардж составляет $35%$ от общего дохода.

Не забудьте выполнить проверку ответа!

Концентрация

Перейдем теперь к задачам о смесях и сплавах. Важнейшим понятием в этих задачах является концентрация.

Концентрация — это отношение объема (или массы) данного вещества к единице объема (или массы) раствора.

В некоторых задачах идет речь о литрах (мера объема), а в некоторых — о килограммах (мера массы). Все формулы и методы решения этих задач абсолютно одинаково применимы к обоим случаям.

Если нам известна концентрация каждой компоненты и общий объем (или масса) смеси, то мы можем найти объем (массу) каждой из компонент, которые входят в смесь.

Например, если объем $96%$-го спирта равен $1$ литр, то спирта в нем $0,96$ литров, а остальные $0,04$ литра — вода.

Чему будет равна объемная концентрация кислоты, если смешать $2$ литра воды и $2$ литра $50%$-го раствора кислоты? $%$

В $2$ л $50%$-го раствора кислоты объем чистого вещества равен $2·50%=1$ л. При добавлении $2$ л воды объем раствора составит $4$ л. Чистое вещество в нем будет составлять $1/4=25%$.

Как составить и решить уравнение в задаче про смеси?

В задачах на растворы и сплавы полезно составить табличку, в которой по строкам перечислены растворы, а по столбцам объемы (или массы) компонент растворов. В каждой ячейке таблицы следует записать значение массы 1-го или 2-го вещества или массы смеси. Если значение неизвестно, то можно заменить его переменной ($x$) или выразить, используя данные условия и определение концентрации: $K_{\text"вв-во 1"}=M_{\text"вв-во 1"}/{M_{\text"смеси"} }$.

Так выглядит незаполненная табличка:

Раствор$M_{\text"вв-во 1"}$$M_{\text"вв-во 2"}$$M_{\text"смеси"}$
Смесь 1
Смесь 2
Смесь 3

После того как таблица составлена, останется только составить и решить уравнение.

Покажем, как решать задачи на смеси с помощью таблички на примере следующей задачи:

Химик решил приготовить "царскую водку". Он смешал $51%$-й раствор азотной кислоты и $33%$-й раствор соляной кислоты (по массе). В результате получилось $4$ кг раствора. Сколько кг азотной кислоты использовал химик, если доля чистого вещества соляной кислоты в чистом веществе "царской водки" была равна $66%$?

1) В качестве переменной $x$ выберем массу соляной кислоты.

2) Заполним табличку:

Раствор$M_{\HCl}$$M_{\HNO_3}$$M_{\text"раствора"}$
Соляная кислота ($HCl$)
Азотная кислота ($HNO_3$)
"Царская водка"

Масса раствора соляной кислоты равна $x$ (кг), царской водки равна $4$ кг, азотной кислоты равна $4-x$ (кг);

Масса $\HCl$ в растворе соляной кислоты и в царской водке: $33%·x$, масса $\HNO_3$ в растворе азотной кислоты и в "царской водке": $51%·(4-x)$;

Заполненная таблица принимает вид

Раствор$M_{\HCl}$
$M_{\HNO_3}$
$M_{\text"раствора"}$
Соляная кислота$33%·x$
$0$
$x$
Азотная кислота$0$
$51%·(4-x)$
$4-x$
"Царская водка"$33%·x$
$51%·(4-x)$
$4$

3) Запишем условие задачи о том, что концентрация $\HCl$ в чистом веществе царской водки была равна $66%$. Концентрация $\HCl$ в чистом веществе царской водки — это величина $M_{\HCl}/{M_{\HCl}+M_{\HNO_3} }={33%·x}/{33%·x+51%·(4-x)}$.

Получаем уравнение: ${33%·x}/{33%·x+51%·(4-x)}=66%$.

4) Решим уравнение:

${33·x}/{33·x+51·(4-x)}=66/100;$

${33·x}=(33·x+51·(4-x))·66/100;$

$x=(204-18x)·2/100;$

$50x=204-18x;$

$x=204/68=3.$

Ответ: масса соляной кислоты равна $3$ кг.

В "царской водке" растворяется даже золото. Во время второй мировой войны немецкие физики Макс фон Лауэ и Джеймс Франк доверили хранение своих золотых медалей Нильсу Бору. Когда в апреле $1940$ года немцы оккупировали Копенгаген, сотрудник Института Нильса Бора химик Георг Хевеши растворил эти медали в царской водке, чтобы избежать конфискации. После окончания войны сотрудники Нильса Бора выделили золото из раствора и передали его Шведской королевской академии наук, которая изготовила новые медали и вернула их фон Лауэ и Франку.

Разберем еще одну задачу, в которой на первый взгляд нет ничего общего с задачами на смеси.

Виноград содержит $90%$ влаги, а изюм — $5%$. Сколько килограммов винограда требуется для получения $16$ килограммов изюма?

Изюм и виноград можно считать смесью воды и сухого вещества.

1) В качестве переменной $x$ выберем массу винограда, из которой получится $16$ кг изюма.

2) Заполним табличку

Продукт$M_{\text"влаги"}$$M_{\text"сух. вв-ва"}$
Виноград
Изюм

Масса влаги в винограде: $x·90%$ кг, в изюме: $16·5%$ кг;

Масса сухого вещества в винограде равна $x·10%$ кг, в изюме — $16·95%$ кг.

Заполненная таблица принимает вид:

Продукт$M_{\text"влаги"}$$M_{\text"сух. вв-ва"}$
Виноград$x·90%$$x·10%$
Изюм$16·5%$$16·95%$

3) Запишем условие задачи о том, что масса сухого вещества в винограде и изюме совпадают:

$10%·x=95%·16.$

4) Избавимся от процентов и решим уравнение:

$0,1·x=0,95·16;$

$x=9,5·16=152.$

Получаем ответ: для получения $16$ кг изюма требуется $152$ кг винограда.