Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Формула Пика

Пусть дана некоторая система координат. В этой системе координат задан многоугольник, площадь которого требуется найти. Мы будем рассматривать многоугольники, вершины которых имеют только целочисленные координаты (будем называть точки с целочисленными координатами узлами). Пример такого многоугольника представлен на рисунке. Рассматриваемый многоугольник необязательно должен быть выпуклым.

Такие задачи часто встречаются в задании B5 ЕГЭ. Это задачи о площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Площадь многоугольника можно найти, разбив многоугольник на треугольники, а затем представив каждый треугольник в виде суммы или разности прямоугольных треугольников. Проделав это, можно убедиться, что площадь всегда получается "полуцелым" числом — числом вида $n/2$, где $n$ — целое число.

Есть также другой способ посчитать эту площадь, зная лишь количество узлов, лежащих внутри многоугольника и на его границе. Имеет место следующая формула:

Теорема (формула) Пика: $$S = n+m/2-1, $$ где $S$ — площадь многоугольника, $n$ — число узлов, лежащих строго внутри многоугольника, $m$ — число узлов, лежащих на границах многоугольника, то есть либо на его сторонах, либо в вершинах.

В задачах о фигурах на клетчатой бумаге узел — это угол клеточки.

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году.

Сначала найдём площадь многоугольника на рисунке, не пользуясь формулой Пика.

Обозначим его вершины точками $A,\,B,\,C,\,D$.

Четырёхугольник $ABCD$ по линиям сетки дорисуем до прямоугольника $XCZY$. Пусть $T$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $CZ$ (см. рис.). Тогда: $$S_{ABCD}=S_{XCZY}-S_{CDX}-S_{ADY}-S_{TBAZ}-S_{CTB}.$$

Треугольники $CDX$, $ADY$, $CBT$ являются прямоугольными. Найдем их площади: $S_{CDX}={CX·XD}/2={7·2}/2=7$; $S_{ADY}={AY·DY}/2={5·6}/2=15$; $S_{CBT}={CT·BT}/2={3·3}/2=4,5$.

Четырёхугольник $TZAB$ является прямоугольной трапецией, его площадь равна: $S_{TBAZ}={(TB+ZA)·TZ}/2={(3+2)·5}/2=12,5$.

Площадь прямоугольника $XCZY$ равна $S_{XCZY}= XC·XZ=7·8=56$.

Таким образом, $$S_{ABCD}=56-7-15-4,5-12,5=17.$$

Теперь найдём площадь того же четырехугольника, воспользовавшись формулой Пика.

В данном случае $n=15$, $m=6$. Значит, площадь равна $$S=n+m/2-1=15+6/2-1=17.$$

Упражнение 1. На рисунке изображена фигура, вершины которой находятся в целочисленных координатах. Ответьте на следующие вопросы.

Сколько точек с целыми координатами находится внутри фигуры?

Сколько точек с целыми координатами находится на границе фигуры?

Чему равна площадь фигуры?

Внутри четырёхугольника находится $10$ точек, на границе находится $6$ точек. Тогда площадь четырёхугольника равна $$S=10+6/2-1=12.$$

Упражнение 2. На рисунке изображена фигура, вершины которой находятся в целочисленных координатах. Ответьте на следующие вопросы.

Сколько точек с целыми координатами находится внутри фигуры?

Сколько точек с целыми координатами находится на границе фигуры?

Чему равна площадь фигуры?

Внутри четырёхугольника не находится ни одной точки, на границе находится $5$ точек. Тогда площадь четырёхугольника равна $$S=0+5/2-1=1,5.$$