Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Основные теоремы теории вероятностей

Теорема о произведении вероятностей

Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению вероятностей событий: $P(A· B)=P(A)· P(B)$.

Пусть, например, одновременно бросают два кубика. Количество очков, выпавших на кубиках, можно считать независимыми событиями. Поэтому вероятность того, что на обоих кубиках выпадет $6$ очков, равна $1/6·1/6=1/36$.

Вероятность произведения двух зависимых событий $A$ и $B$ равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: $P(A· B)=P(A)· P(B|A)$.

Приведем пример пары событий, для которых выполняется формула $P(A· B)=P(A)· P(B|A)$, но не выполняется формула $P(A· B)=P(A)· P(B)$. Для любого дня в октябре вероятность того, что в Лондоне идет дождь, равна $0,3$. При этом если в какой-то день шел дождь, то вероятность того, что на следующий день пойдет дождь, равна $0,7$. Найдем вероятность того, что и 1-го и 2-го октября следующего года в Лондоне будет идти дождь: она равна $P(A· B)=P(A)· P(B|A)=0,3·0,7=0,21$. В последнем равенстве события $A$ и $B$ соответственно означают, что 1-го и 2-го октября следующего года будет идти дождь.
Легко видеть, что если вычислять вероятность по формуле $P(A· B)=P(A)· P(B)$, то мы получим заниженную оценку: $0,09$. Это связано с тем, что события $A$ и $B$ — зависимые, поскольку вероятность дождя 2-го октября зависит от того, был ли дождь 1-го октября.

Рассмотрим еще один пример:


Во время испытания смешали шарики из двух ваз и вытащили случайный шарик.
Рассмотрим события:
$\bo A$: шарик белого цвета,
$\bo B$: шарик из первой вазы.
В первой вазе было $24$ шарика, а во второй — $12$. Поэтому вероятность того, что шарик из первой вазы, равна $P(B)=2/3$. Поскольку доля белых шариков в первой вазе равна $1/3$, то $P(A|B)=1/3$.
Тогда $P(A· B)=P(B)P(A|B)=2/3· 1/3=2/9$.
Можно проверить результат: всего в двух вазах $36$ шариков, из них $8$ белые из первой вазы. Поэтому $P(A· B)=8/36=2/9$.

Теорема о сумме вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий: $P(A+B)=P(A)+P(B)$.

Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A· B)$.

Если изобразить события $A$ и $B$ в виде множеств на плоскости, то легко убедиться, что эти утверждения выполняются.

Следующие примеры иллюстрируют эти утверждения:

1. Несовместные события. Вероятность того, что на кубике выпало число очков, кратное трем равно сумме вероятностей того, что на кубике выпало $3$ очка и $6$ очков.
2. Совместные события. Пусть событие $A$ состоит в том, что число очков на кубике кратно $3$, а $B$ в том, что оно кратно двум. Событие $A$ состоит из двух результатов, а $B$ — из трех: $A={3,6}$, $B={2,4,6}$. Сумма событий $A+B$ состоит из четырех результатов: ${2,3,4,6}$, а пересечение — из одного результата: $A·B={6}$. Легко видеть что последнее равенство выполняется: $P(A+B)=4/6=2/6+3/6-1/6=P(A)+P(B)-P(A· B)$.

Формула полной вероятности

Если $B_1,B_2,…,B_n$ — несовместные и в сумме дают достоверное событие, то вероятность события $A$ можно вычислить, зная вероятности событий $B_1, B_2,…,B_n$, а также условные вероятности этого события в предположении событий $B_1, B_2,…,B_n$. Выполняется следующая формула:

$$P(A)=P(A|B_1)· P(B_1)+P(A|B_2)· P(B_2)+…+P(A|B_n)· P(B_n).$$

Следующий пример показывает, что эта формула верна:


Во время испытания смешали шарики из двух ваз и вытащили случайный шарик.
Рассмотрим события:
$\bo A$: шарик белого цвета,
$\bo B_1$: шарик из первой вазы,
$\bo B_2$: шарик из второй вазы.
Поскольку доля белых шариков в первой вазе равна $1/3$, а во второй вазе равна $1/2$, то условные вероятности равны $P(A|B_1)=1/3$ и $P(A|B_2)=1/2$.
В первой вазе $24$ шарика, а во второй — $12$ шариков. Поэтому вероятности событий $B_1$ и $B_2$: $P(B_1)=2/3$, $P(B_2)=1/3$.
Тогда вероятность вытащить белый шарик:
$P(A)=P(A|B_1)· P(B_1)+P(A|B_2)· P(B_2)=$ $1/3· 2/3 +1/2· 1/3=2/9+1/6=7/18$.
Можно проверить результат: всего в двух вазах $36$ шариков, из них $14$ белых. Поэтому $P(A)=14/36=7/18$.