Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Исследование функций без помощи производной


О чем задача?

Задачи на поиск точек экстремума , а также наибольших и наименьших значений функций без помощи производных . Как правило, исследуемая функция является композицией квадратичной функции и любой монотонной функции , в частности $f(x)=√{x}$, $\,\,f(x)=\log_a x$ и $f(x)=a^x$.

Найдите наименьшее значение функции $y=\log_3 (x^2-26x+898)-8$.

Как решать?

Шаг 1. Представьте исследуемую функцию в виде композиции двух функций

Сначала необходимо убедиться в том, что вы исследуете функцию, точки экстремума которой можно найти без помощи производной. Для этого представьте исходную функцию $y=h(x)$ в виде $y=h(x)=f(g(x))$. Если функция $y=f(u)$ монотонна, а функция $u=g(x)$ — квадратичная или любая другая функция, точки экстремума которой вы можете найти без производной, то и для исследования исходной функции $y=h(x)$ производная вам не потребуется.

В нашем случае $y=h(x)=f(g(x))$, где $y=f(u)=\log_3 u - 8$ — монотонная функция, а $u=g(x)=x^2-26x+898$ — квадратичная функция.

Шаг 2. Найдите точку максимума или минимума функции $u=g(x)$

Так как функция $y=f(u)$ монотонна, исходная функция $y=h(x)=f(g(x))$ достигает максимума или минимума в той же точке, что и функция $u=g(x)$.

Если функция $u=g(x)$ квадратичная , то есть имеет вид $u=ax^2+bx+c$, то она имеет точку экстремума при $x=-{b}/{2a}$. Это точка максимума, если $a<0$, и точка минимума, если $a>0$.

Функция $u=g(x)=x^2-26x+898$ достигает минимума при $x=-{-26}/{2}=13$.

Это и есть решение задач на поиск точек максимума и минимума.

Шаг 3. Вычислите наибольшее или наименьшее значение функции

Этот шаг надо выполнить только в задачах на поиск наибольшего или наименьшего значения функции.

Найдем значение исходной функции $y=\log_3 (x^2-26x+898)-8$ при $x=13$.
Сначала вычислим значение $$g(13)=13^2-26·13+898=13^2-2·13^2+898=898-169=729.$$
Теперь вычислим значение $$y_{\min}=\log_3 729 -8=\log_3 (3^6)-8=6-8=-2.$$ Наименьшее значение функции равно $-2$.