Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Исследование функций с помощью производной

Монотонная функция

Возрастающая функция на отрезке $[a,b]$ (или интервале, или множестве) — это такая функция $f(x)$, что для любых $x_1{<}x_2$ из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство $f(x_1){<}f(x_2)$. В случае выполнения нестрогого неравенства $f(x_1)≤f(x_2)$ функция называется неубывающей на отрезке.

Убывающая функция на отрезке $[a,b]$ (или интервале, или множестве) — это такая функция $f(x)$, что для любых $x_1{<}x_2$ из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство $f(x_1){>}f(x_2)$. В случае выполнения нестрогого неравенства $f(x_1)≥f(x_2)$ функция называется невозрастающей на отрезке.

Если функция является убывающей или возрастающей, то она называется монотонной функцией.

Пример: функция $y=\ln x$ является возрастающей.

Пример: функция $y=-3x+2$ является убывающей.

Точки экстремума

$x_0$ — точка максимума функции $f(x)$, если для всех достаточно близких точек $x$ верно неравенство $f(x)≤ f(x_0)$.

x0точка минимума функции f(x), если для всех достаточно близких точек x верно неравенство f(x)f(x0).

Точка экстремума — это точка максимума либо точка минимума функции.

Признак возрастания и убывания функции

Функция $f(x)$ возрастает на промежутке (a;b), если производная $f'(x)>0$ на этом промежутке.

Функция $f(x)$ убывает на промежутке (a;b), если производная $f'(x)<0$ на этом промежутке.


Признаки максимума и минимума функции

Если функция $f(x)$  возрастает на промежутке  $(a;x_0)$  и убывает на промежутке  $(x_0;b)$, то  $x_0$  является точкой максимума функции .

Признак максимума функции выполняется, если:

Если функция убывает на промежутке $(a;x_0)$  и возрастает на промежутке  $(x_0;b)$, то  $x_0$  является точкой минимума функции .

Признак минимума функции выполняется, если:

Критическая точка

Точка, в которой производная функции равна нулю.

В критических точках касательная является горизонтальной линией, т.к. тангенс угла наклона касательной (значение производной в точке касания) равен нулю.

Три типа критических точек:

$x_1$ – точка локального минимума , является точкой экстремума ;

$x_2$ – точка перегиба, НЕ является точкой экстремума.

$x_3$ – точка локального максимума , является точкой экстремума;

Как искать точки максимума и минимума функции

Задачи на нахождение точек экстремума функции решаются по стандартной схеме в $3$ шага.

Шаг 1. Найдите производную функции

$$y'(x)=(x^3-243x+19)'=3x^2-243.$$

Шаг 2. Найдите нули производной

$$3x^2-243=0 \,\,\,\,⇔\,\,\,\, x^2=81 \,\,\,\,⇔ \,\,\,\, x_1=-9, \,\,\,\, x_2=9.$$

Шаг 3. Найдите точки экстремума

Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу:

Найдите точку максимума функции $y=x^3-243x+19$.

1) Найдем производную: $y'(x)=(x^3-243x+19)'=3x^2-243;$

2) Решим уравнение $y'(x)=0$: $3x^2-243=0 \,\,\,\,⇔\,\,\,\, x^2=81 \,\,\,\,⇔ \,\,\,\, x_1=-9, \,\,\,\, x_2=9;$

3) Производная положительная при $x{>}9$ и $x{<}-9$ и отрицательная при $-9{<}x{<}9$. Поэтому $x=-9$ — точка максимума.


Как искать наибольшее и наименьшее значение функции

Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функции необходимо:

Во многих задачах помогает теорема:

Если на отрезке только одна точка экстремума , причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение.