Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Как найти производную функции

Чтобы найти производную функции, необходимо последовательно сделать следующие шаги:

Функцию $f(x)={\sinx}/{√{1-x^2} }$ можно представить в виде $f=g(h_1,h_2)$, где $g(x,y)=x/y$, $h_1(x)=\sin x$, $h_2(x)=√{1-x^2}$.

$f'(x)=({\sinx}/{√{1-x^2} })'= {\sin'x√{1-x^2}-\sinx(√{1-x^2})'}/{(√{1-x^2})^2}={\cosx√{1-x^2}-1/2·2x\sinx(√{1-x^2})^{-1} }/{1-x^2}=$
$={\cosx}/{√{1-x^2} }-{x\sinx}/{(√{1-x^2})^3}$.


Правила дифференцирования

Пусть $u$ и $v$ - дифференцируемые функции, а $C$ - любое действительное число.

$(C)'=0$ – производная константы;

$(u+v)'=u'+v'$ – производная суммы;

$(Cu(x))'=C(u(x))'$ – вынесение константы;

$(u· v)'=u'v+uv'$ – производная произведения;

$({u}/{v})'={u'v-v'u}/{v^2}$ – производная частного;

$(f(g(x)))'=g'(x)· f'(g(x))$ – производная сложной функции .

$$(\cos{x^2})'=(x^2)'· \cos'{x^2}=2x· (-\sin{x^2})=-2x\sin x^2 .$$

Таблица производных

$$\table {(C)'=0,}, {x'=1,};{(kx+b)'=k,}, {(x^a)'=ax^{a-1},};{(a^x)'=a^x· \ln a,}, {(e^x)'=e^x,};{(\log_a x)'={1}/{x·\ln a},}, {(\ln x)'={1}/{x}.};$$

Тригонометрические функции

$$\table{(\sin x)'=\cos x,}, {(\cos x)'=-\sin x,}; {(\tg x)'={1}/{\cos^2 x},}, {(\ctg x)'=-{1}/{\sin^2 x}.};$$