Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Первообразная

$F(x)$ — первообразная функции $f(x)$, если производная функции $F(x)$ равна $f(x)$.

Основные свойства:


Связь площади криволинейной трапеции и первообразной

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком функции $f(x)$, осью $x$ и прямыми $x=a$ и $x=b$.

Основное свойства криволинейной трапеции:

Если $F(x)$ — одна из первообразных функции $f(x)$, то $F(b)-F(a)$ равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью $x$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. При этом если часть графика функции $f(x)$ проходит ниже оси $x$, то площадь этой части криволинейной трапеции следует брать со знаком минус.

Это свойство позволяет найти площадь криволинейной трапеции, зная первообразную и наоборот, разность значений первообразной в двух точках, зная площадь криволинейной трапеции.

Используем связь криволинейной трапеции и первообразной для решения следующей задачи:


На рисунке изображен график некоторой функции $y=f(x)$. Пользуясь рисунком, вычислите $F(7)-F(5)$, где $F(x)$ — одна из первообразных функции $f(x)$.

Разность $F(7)-F(5)$ равна площадь , ограниченной графиком функции, осью $x$ и прямыми $x=5$ и $x=7$.

Площадь фигуры под графиком равна $3$. Поэтому $F(7)-F(5)=3$.

Переформулируем вопрос задачи, используя понятие первообразной.