Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Понятие производной

Производная

Производная — это скорость изменения функции. Она показывает, как сильно будет изменяться значение функции при небольшом изменении переменной. Теперь дадим формальное определение.

Производная — это предел отношения приращения функции ($Δ y$) к приращению ее аргумента ($Δ x$) при стремлении его к нулю. $y'(x)=\lim_{Δx→ 0}{Δ y}/{Δ x}$.

Геометрический смысл производной

Производная в точке $x_0$ равна коэффициенту наклона (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в точке $x_0$: $y'(x)=\tg α$.

Геометрический смысл производной применяется при исследовании свойств функций:

Используя геометрический смысл, можно по графику функции найти производную в точке. Для этого необходимо провести касательную и отметить на ней любые две точки (удобно использовать точки с целыми координатами). Если $(x_1;y_1)$ — координаты первой точки, а $(x_2;y_2)$ — координаты второй точки, то производная равна ${y_2-y_1}/{x_2-x_1}$.

На чертеже показан график функции $y(x)=x^2-4x+5$ и ее касательная в точке $x_0$. По графику видно, что производная функции $y(x)=x^2-4x+5$ в точке $x_0=3$ равна $2$.

Уравнение касательной

Касательная к графику функции является прямой, а потому является графиком линейной функции: $y=kx+b$. Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $(x_0;y_0)$ можно вывести воспользовавшись геометрическим смыслом производной. Коэффициент наклона касательной должен быть равен производной в точке $x_0$: $f'(x_0)$, а значение в точке $x_0$ равно $f(x_0)$.

Поэтому касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке $(x_0;y_0)$ задается формулой $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

С помощью этой формулы легко найти уравнение касательной, например, к графику функции $y(x)=x^2-4x+5$ в точке $x_0=3$. В этом случае $f(x_0)=f(3)=3^2-4·3+5=2$, а $f'(x_0)=2$. Поэтому уравнение касательной: $y=2+2·(x-3)$ или, что то же самое, $y=2x-4$.

Физический смысл производной

Скорость $v$ материальной точки при прямолинейном движении по прямой равна производной координаты $x$ как функция от времени $t$: $v(t)=x'(t)$.

Например, если точка движется по закону $x(t)={gt^2}/2$, то скорость точки равна $v(t)=x'(t)=gt$.

Приведем несколько других примеров из физики.

Как решать задачи на физический смысл производной

В задачах на физический смысл производной нужно, зная закон движения материальной точки $x(t)$, найти ее скорость в определенный момент либо определить момент времени, когда достигалась определенная скорость.

Первый шаг — это вычисление производной в соответствии с правилами дифференцирования.

После этого можно найти скорость в определенный момент времени, подставив соответствующее значение $t$.

Если же нужно найти момент времени, когда достигалась определенная скорость $v_0$, то нужно решить уравнение $x'(t)=v_0$ относительно $t$.

Применим этот подход при решении следующей задачи:

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=1/6 t^3-t^2+16$ (где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна $96$ м/с?

Найдем производную функции $x(t)$: $x'(t)=(1/6 t^3-t^2+16)'=1/2 t^2-2t$.

Остается решить квадратное уравнение $1/2 t^2-2t=96$:
$$D={4+4· 1/2· 96}=196=14^2 \,\,\,\, ⇒\,\,\,\, t_1=2+14=16, \,\,\,\, t_2=2-14=-12.$$
$t$ — положительное число. Поэтому $t=16$.