Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Как решать С2

О чем задача?

Задачи на поиск углов и расстояний в пространстве, а также площадей сечений различных многогранников. Как и в других задачах части C, в задачах C2 требуется не только указать ответ, но и написать решение.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ проведено сечение через середины ребер $AB$ и $BC$ и вершину $S$. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно $7$, а сторона основания равна $8$.

Как решать?

В отличие от задач по стереометрии части B в этой задаче часто приходится выполнять дополнительные построения, определять форму сечений.

Шаг 1. Сведите задачу к задаче в плоскости

Найдите недостающие элементы плоской фигуры.Во многих задачах сначала требуется выполнить дополнительное построение, чтобы искомые элементы находились в одной плоскости.

Найдем стороны $∆MSN$: $MN={AC}/2=4$ как средняя линия треугольника $∆ABC$; $SN=SM=√{SB^2-BN^2}=√{7^2-(8/2)^2}=√33$. Теорему Пифагора можно использовать, поскольку в равнобедрненном треугольнике $∆ASB$ медиана $SN$ также является высотой.

Шаг 2. Используйте теоремы планиметрии, чтобы найти ответ

Чаще всего используются теоремы

Поскольку нам известны все стороны треугольника, мы можем применить формулу Герона для нахождения площади: $S_{∆SMN}=√{p(p-SM)(p-SN)(p-MN)}$, где $p=√33+2$ — полупериметр. Имеем:$$S_{∆MNS}=√{(√33+2)· 2· 2· (√33-2)}=2√{33-4}=2√29 .$$