Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Многогранники

Большинство задач по стереометрии под номерами B10 и B13 решаются достаточно просто. Нужно лишь научиться применять простейшие формулы и немного потренировать пространственную интуицию. В этом уроке речь пойдет о задачах с многогранниками.

Что вы узнаете

Что нужно знать

Понятие многогранника

Начнем с определения многогранника:

Многогранник — это такое тело, поверхность которого составлена из многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, их стороны — ребрами, а вершины — вершинами многогранника.

В школьном курсе рассматриваются выпуклые многогранники. Это многогранники, для которых верно следующее утверждение: для любой плоскости, проходящей через одну из граней многогранника, многогранник находится целиком по одну сторону от этой плоскости. Многогранник является выпуклым тогда и только тогда, когда отрезок, соединяющий любые две точки многогранника, полностью принадлежит многограннику.

Каждая грань такого многогранника будет выпуклым многоугольником. При этом обратное утверждение не верно: если каждая грань многогранника — выпуклый многоугольником, то он необязательно выпуклый!

Древнегреческий философ Платон очень интересовался такими многогранниками, у которых все грани являются одинаковыми правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Он нашел $5$ таких многогранников. Вы можете прочитать о них здесь.

Мы же рассмотрим наиболее важные и часто встречающиеся в приложениях классы многогранников:

На самом деле параллелепипед — это частный случай призмы, но мы его рассмотрим отдельно, поскольку он очень важный.

Разновидностей многогранников существует множество. Например, любая 3D-модель из компьютерной игры представляет собой некоторый (возможно, очень сложный) многогранник. Чем он сложнее, тем точнее описывает реальный объект. Однако изучать свойства многогранников легче на простых моделях. Устройство многогранников важно знать и понимать инженерам, дизайнерам и художникам, а также всем, кто хочет лучше понимать взаимосвязи объектов в пространстве.

Пирамида

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань, называющаяся основанием пирамиды, — многоугольник (любой), а другие грани — треугольники, выходящие из одной точки, которая называется вершиной пирамиды.

Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Отрезок, проведенный из вершины к основанию пирамиды и перпендикулярный плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Объем пирамиды равен $V=1/3 S_{осн}h$, где $h$ — высота пирамиды, а $S_{осн}$ — площадь основания.

Еще одна формула объема (для треугольной пирамиды) используется в более сложных задачах: $V=1/6 abd\sin γ$, где $a$ и $b$ — противоположные (скрещивающиеся) ребра, $d$ — расстояние между ними, а $γ$ — угол между ними.

Для решения задач B10 и B13 эту формулу помнить не нужно, а вот для решения C2 она может пригодиться.

Чему равен объем пирамиды с высотой $2\, м$ и площадью основания $3\, м^2$? $м^3$

$V=1/3 · 3 · 2=2 \,м^3.$

А чему равна площадь основания пирамиды с высотой $3$ и объемом $1$?

$V=1/3 Sh$, откуда $S={3V}/h=3/3=1$.

Во многих задачах требуется найти площадь полной или боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность складывается из поверхностей боковых граней. Полная поверхность состоит из боковой поверхности и основания пирамиды.

Поскольку боковые грани пирамиды — это треугольники, то площадь боковой грани равна половине произведения основания этой грани на высоту этой грани.

Далее мы рассмотрим особый случай пирамиды — правильную пирамиду.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из его вершины, называется апофемой.

Если ребро основания правильной $n$-угольной пирамиды равно $a$, а апофема равна $l$, то площадь боковой поверхности можно найти по формуле: $$S_{\text"бок."}=1/2 nal.$$

Воспользуйтесь этой формулой, чтобы решить следующие две задачи:

У пирамиды все $4$ боковые грани равны друг другу, а в основании лежит квадрат. Ее апофема равна $2$ м, а сторона основания равна $1$ м. Чему равна площадь поверхности пирамиды?

Каждая боковая грань — это треугольник с высотой $2$ и основанием $1$. Поэтому его площадь равна $1/2 ·2·1=1$, а площадь квадрата в основании равна $1·1=1$. Общая площадь поверхности равна $1·4+1=5$.

Сколько вершин имеет правильный многоугольник, который лежит в основании правильной пирамиды, если высота боковой грани, проведенная из вершины, равна $4$, ребро основания равно $1$, а площадь боковой поверхности равна $10$?

Число вершин основания равно $n={2S_{бок} }/{al}={2·10}/{4·1}=5$. Таким образом, основание — это правильный пятиугольник.

У некоторых многогранников (не у всех) существует вписанная или описанная сфера.

Вписанная сфера — это сфера, которая касается всех граней многогранника. Описанная сфера — сфера, на которой лежат все вершины многогранника.

Проверьте свою пространственную интуицию, ответив на следующий вопрос:

Отметьте все свойства, которые обязательно должны быть выполнены в правильной пирамиде. То есть свойства, которые следуют из определения пирамиды:

Ребра основания в правильной пирамиде необязательно равны боковым ребрам. Боковые грани являются равнобедренными треугольниками, но необязательно правильными треугольниками. Остальные свойства выполняются для любой правильной пирамиды.

Частный случай пирамиды, который бы заинтересовал Платона, — это правильный тетраэдр.

Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.

Площадь поверхности, объем, высоту и другие элементы правильного тетраэдра можно найти, если знать, чему равно ребро правильного тетраэдра. Зная только лишь длину одного ребра правильного тетраэдра, мы знаем о нем все.

Для правильного тетраэдра выполняются следующие свойства:

Теперь запишем основные формулы. Если сторона тетраэдра равна $a$, то тогда

Заучивать все формулы без разбора — это довольно бесполезное занятие. Формулы, записанные выше, используются не так часто, и при этом их можно легко вывести из основных формул.

Например, площадь поверхности правильного тетраэдра можно найти, если умножить площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ на число граней тетраэдра: $4· √3/4 a^2$.

Площадь равностороннего треугольника, тоже легко вывести, используя следующую формулу площади треугольника: $S=1/2 ab\sin γ$ (эту формулу знать обязательно!). С ее помощью легко найти площадь равностороннего треугольника: $S=1/2 a^2 \sin 60˚=1/2 a^2 √3/2=√3/4 a^2$.

В стереометрии важно понимать, как связаны друг с другом различные элементы тел, и помнить основные формулы планиметрии, такие как формула площади треугольника и параллелограмма. Выучите самые основные формулы стереометрии, такие как формула объема пирамиды и призмы, и научитесь выводить все остальные формулы.

Очень часто ключом к решению является первый шаг, который позволит свести задачу по стереометрии к планиметрии.

Какой первый шаг нужно сделать, чтобы найти высоту $AH$ правильного тетраэдра $ABCD$ со стороной $a$ (считайте, что формулы высоты и объема тетраэдра нам не известны)?

Если мы перейдем в плоскость $ABH$, проходящую через высоту $AH$ и боковое ребро $AB$, то увидим, что треугольник $∆ABH$ прямоугольный. Его гипотенуза $AB=a$, один из его катетов — высота $AH$, а другой — отрезок $BH$, который соединяет вершину равностороннего треугольника $∆BCD$ с его центром $H$. Этот отрезок равен $2/3$ медианы треугольника $∆BCD$, а медиана (она же высота этого треугольника) равна $a\sin 60˚=a√3/2$.

Получается, что $BH=√3/3a$, а $AH=√{AB^2-BH^2}=√{a^2-1/3 a^2}=√{2/3} a$.

Призма

Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой.

Обычно вершины обозначают так, что $ABC...$ — это вершины основания, $A_1B_1C_1...$ — вершины второго основания, а $AA_1$, $BB_1$, ... — это боковые ребра.

Все боковые грани призмы — параллелограммы. Основания призмы равны друг другу.

Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром к плоскостям, в которых лежат основания призмы.

Объем призмы можно найти по формуле: $V=Sh$, где $h$ — высота, а $S$ — площадь основания.

Если боковое ребро образует с плоскостью угол $α$, то высоту можно найти по формуле: $h=a\sinα$, где $a$ — длина бокового ребра. Это следует из соотношения между гипотенузой и катетом в прямоугольном треугольнике ($а$ — гипотенуза, $h$ — это катет, а $α$ — противолежащий угол).

Поверхность призмы складывается из боковых граней и двух оснований.

Легче всего искать площадь боковой поверхности и объем, когда боковые ребра перпендикулярны основанию, поскольку у такой призмы боковые ребра равны высоте призмы, а все боковые грани являются прямоугольниками.

Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основанию, называется прямой призмой.

Объем прямой призмы равен $100$, а площадь основания — $10$. Чему равно боковое ребро?

Поскольку боковое ребро равно высоте призмы, то боковое ребро равно $V/S_{\text"осн."}=100/10=10$.

Легко убедиться, что выполняется следующая теорема.

Если $h$ — боковое ребро прямой призмы, то все грани — это прямоугольники, у которых две параллельные стороны равны $h$, а две другие стороны — это стороны основания.

Из этой теоремы следует, что площадь боковой поверхности равна $S_{бок}=Ph$, где $P$ — периметр основания.

Частный случай прямой призмы — это правильная призма.

Правильной призмой называется прямая призма, у которой основание — правильный многоугольник.

У правильной призмы все боковые грани — равные прямоугольники. Площадь ее боковой поверхности равна $S_{бок}=nha$, где $a$ — ребро основания, $h$ — это высота призмы (она же боковое ребро призмы), а $n$ — количество вершин основания.

Найдите сторону основания призмы, если площадь боковой поверхности равна $12$, высота $2$, а в основании лежит правильный шестиугольник.

$a=S/{nh}=12/{2·6}=1$.

Чтобы уверенно решать задачи c правильной призмой, необходимо знать (или уметь выводить) соотношения различных элементов правильных многоугольников, в особенности правильного треугольника и шестиугольника.

Например, полезно знать, что площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $√3/4 a^2$, а правильного шестиугольника — $6·√3/4 a^2={3√3}/2 a^2$ (поскольку он разбивается на $6$ правильных треугольников со стороной $a$).

Расстояние между точками на разных основаниях прямой призмы можно вычислить с помощью теоремы Пифагора. Например, диагональ призмы $AC_1=√{AC^2+CC_1^2}$ из прямоугольного треугольника $∆ACC_1$.

В прямой шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ высота равна $3$, а боковое ребро равно $2$. Чему равен отрезок $AD_1$?

По теореме Пифагора: $AD_1=√{AA_1^2+A_1D_1^2}$. Поскольку боковое ребро прямой призмы равно высоте, то $AA_1=3$. Поскольку диагональ $A_1D_1$ правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ в $2$ раза длиннее стороны шестиугольника, то $A_1D_1=4$. Получаем: $AD_1=√{AA_1^2+A_1D_1^2}=√{3^2+4^2}=5$.

Параллелепипед

Параллелепипед — это призма, основанием которой служит параллелограмм.

Все грани параллелепипеда — параллелограммы.

Объем параллелепипеда выражается с помощью той же формулы, что и объем призмы: $V=hS_{осн}$.

При этом, поскольку основание параллелепипеда — это параллелограмм, то площадь основания можно найти по формуле: $S_{осн}=ab\sin∠(a,b)$, где $a$ и $b$ — стороны параллелограмма, а $∠(a,b)$ — угол между ними.

Заметим, что в качестве основания мы можем выбрать любую грань параллелепипеда, а не только ту, на которой он "стоит". При этом при вычислении площади через $h$ нужно обозначить длину высоты, опущенной на эту грань.

Как и для призмы, высоту можно найти по формуле $h=c\sinα$, где $α$ — угол наклона ребра $c$.

Воспользуйтесь этим свойством для решения следующей задачи.

Угол одной из граней параллелепипеда равен $30˚$, боковое ребро наклонено под углом $60˚$ к этой грани. Чему равен объем параллелепипеда, если все ребра равны $√3$?

Для начала найдем площадь грани параллелепипеда с углом $30˚$: $S_{осн}=√3·√3·\sin 30˚=3·1/2=3/2$. Высота, опущенная к этой грани, равна $h=√3·\sin 60˚=√3·√3/2=3/2$. Тогда объем равен $$V=S_{осн}·h=3/2 · 3/2=9/4=2,25.$$

Важный частный случай параллелепипеда — это прямоугольный параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, все грани которого — прямоугольники.

Элементы такого параллелепипеда искать особенно легко. Если $a$, $b$ и $c$ — длины сторон параллелепипеда, то

Используйте одну из этих формул, чтобы решить следующую задачу.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны $1$ и $2$. Чему равно третье ребро, если площадь поверхности параллелепипеда равна $16$?

Обозначим неизвестное ребро через $c$. Запишем формулу площади поверхности и подставим в нее известные ребра: $16=2(1·2+1·c+2·c)=4+6c$. Получаем, что $c={16-4}/6=2$.

Еще одно платоново тело, куб, является частным случаем прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

Легко убедиться, что для куба выполняются следующие свойства:

Куб полностью определяется длиной стороны. Если $a$ — сторона куба, то мы можем найти любой другой элемент:

Попробуйте вывести эти формулы, используя формулы для прямоугольного параллелепипеда, а также формулы планиметрии (например, теорему Пифагора). Если вы научитесь выводить эти формулы, то вам легче будет их запомнить. Кроме того вы всегда сможете проверить себя, что поможет избежать ошибок при решении задач.