Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Тела вращения

Что вы узнаете

Что нужно знать

Конус, цилиндр и шар — это тела вращения. Они так называются, потому что их можно получить, вращая определенную фигуру вокруг некоторой оси. Представьте себе вращающуюся дверь на входе в торговый центр. Можно условно считать, что это прямоугольник, который вращается вокруг одной из своих сторон. Часть пространства, которую он покрывает в процессе вращения, является цилиндром.

Аналогично, если вращать круг вокруг его диаметра, то получится шар. Если же прямоугольный треугольник вращать вокруг его катета (либо равнобедренный треугольник вокруг его высоты) — то получится конус.

Рассмотрим свойства этих тел. Начнем с цилиндра.

Цилиндр

Цилиндру можно дать такое определение:

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Эти круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, — образующими цилиндра.

Если образующие перпендикулярны основаниям, то цилиндр называется прямым цилиндром.

Мы будем рассматривать только прямые цилиндры. Прямой цилиндр можно получить, если свернуть в трубочку прямоугольный лист бумаги и закрыть кругами отверстия с двух концов.

Высота цилиндра — это отрезок, соединяющий основания и перпендикулярный основаниям цилиндра.

Каждая образующая прямого цилиндра равна высоте.

Если $h$ — высота цилиндра, а $r$ — радиус основания цилиндра, то объем цилиндра и площадь его поверхности можно легко найти с помощью следующих формул:

Если не удается сразу запомнить эти формулы — не беда. Они легко выводятся из теорем планиметрии:

Основание цилиндра — это круг радиусом $r$. Поэтому его площадь равна $πr^2$. Чтобы получить объем, нужно умножить площадь основания на высоту: $V=Sh=πr^2h$.

Если развернуть боковую поверхность цилиндра на плоскость, то получится прямоугольник, одна сторона которого равна высоте ($h$), а другая — длине окружности основания ($2πr$). Площадь боковой поверхности равна произведению сторон этого прямоугольника. Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно к площади боковой поверхности добавить две площади основания: $S=2πrh+2·πr^2=2πr(r+h)$.

Используйте эти формулы для решения следующей задачи:

Чему равна образующая цилиндра, радиус основания которого равен $1/π$, а площадь боковой поверхности равна $2$?

Образующая равна высоте. По формуле получаем, что $S_{бок}=2πhr$, откуда $h={S_{бок} }/{2πr}=2/{2π ·1/π}=1$.

Нефтехранилища делают в форме цилиндра из листовой стали (в верхней части лист тоньше, чем в нижней, что соответсвует распределению нагрузки на стенку). Первое такое нефтехранилище построил Владимир Шухов в 1878 году (тот самый, который потом построил Шаболовскую башню в Москве). До него нефть в России хранилась в прудах под открытым небом, а в Америке — в прямоугольных резервуарах. Как показал Шухов, форма цилиндра оптимальная с точки зрения экономии стали. Поэтому такие нефтехранилища сейчас используются по всему миру.

Чему (примерно) равен объем нефтехранилища диаметром $60$ метров и высотой $18$ метров? (выберите наиболее близкий вариант)

По формуле $V=πr^2h$ получим $3,1416·30^2·18≈50\,894\,\,\, м^3$.

Следующий важнейший пример тела вращения — это шар.

Шар

Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более $R$ от некоторой точки, которая называется центром шара. $R$ называется радиусом шара.

Сфера — это поверхность шара. Сфера является множеством точек, отстоящих от ее центра на расстояние $R$.

Основные свойства шара:

Если $R$ — радиус шара, то

Эти формулы следует запомнить. Чтобы было легче запомнить, например, формулу объема, запомните, что шар радиусом $1$ имеет объем чуть больше $4$.

Шар имеет наименьшую поверхность среди тел с заданным объемом. Поэтому из-за поверхностного натяжения капля воды и мыльный пузырь стремятся к форме шара.

Чему равен объем шара с площадью поверхности $9π$? $π$

Из формулы площади получаем, что $R=√{ {S}/{4π} }=3/2$. Объем равен $4/3π (3/2)^3=9/2 π=4,5 π$.

Вот еще одно интересное свойство шара:

Если провести две плоскости на расстоянии $h$ друг от друга, которые высекают кольцо на поверхности шара, то площадь этого кольца будет равна $2πrh$, где $r$ — радиус шара.

То есть площадь кольца будет зависеть только от расстояния между плоскостями $h$, а не от того, в каком месте проходят плоскости. Цилиндр с высотой $h$ и радиусом $r$ будет иметь точно такую же площадь боковой поверхности.

Представьте себе апельсин, который порезали слоями равной толщины. Площадь оранжевой корки у каждого слоя будет одинаковой! Слой, который ближе к центру, будет длиннее, но оранжевая полоска будет уже, а у полюса — наоборот — полоска короткая, но широкая из-за наклона корки в этом месте.

Из этого свойства можно вывести формулу площади сферы. Если положить $h=2r$, то получим что площадь сферы равна площади боковой поверхности цилиндра, диаметр и высота которого равны диаметру сферы. То есть $S=2πr(2r)=4πr^2$.

Конус

Конус — это тело, которое получается при объединении всех отрезков, соединяющих точки круга (основание конуса) с вершиной конуса.

Прямой конус — это конус, вершина которого лежит на прямой, перпендикулярной основанию и проходящей через центр основания. Эта прямая называется осью прямого конуса.

Высота конуса — это отрезок, проведенный из вершины конуса к основанию перпендикулярно основанию конуса. Отрезок, который соединяет вершину конуса с окружностью в основании, называется образующей конуса.

В задачах ЕГЭ рассматривается в основном прямой конус.

Прямой конус можно получить, если из бумажного круга вырезать сектор (с любым углом от $0$ до $2π$), потом свернуть его в рупор, склеить по разрезу, а круглое отверстие закрыть кругом.

Если $l$ — длина образующей конуса, $h$ — высота конуса, а $r$ — радиус основания конуса, то

Заметим, что формула объема конуса очень похожа на формулу объема пирамиды. Это следует из того, что конус — это, по сути, та же пирамида, только вместо многоугольника в основании находится круг.

Формула для образующей конуса следует из теоремы Пифагора. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — это высота конуса и радиус основания конуса. Поэтому также верны формулы: $h=√{l^2-r^2}$ и $r=√{l^2-h^2}$.

Формулу площади боковой поверхности можно получить, если рассмотреть развертку его боковой поверхности на плоскость. Она представляет собой сектор круга радиуса $l$. При развертке вершина конуса переходит в центр круга, образующая — в его радиус, а окружность основания — в дугу сектора. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса: $2πr$. Обозначим радианную меру угла сектора через $α$. Тогда длина его дуги равна $αl$, а площадь равна $1/2 αl^2$. Тогда $αl=2πr$. Значит, $α={2πr}/l$. Тогда площадь сектора равна $1/2· {2πr}/l ·l^2=πrl$.

Пользуясь формулами, решите следующие задачи:

Чему равна площадь поверхности конуса с образующей $3$ и радиусом основания $1$? $π$

$S=πr(r+l)=π·1·(1+3)=4π$.

Чему равен объем конуса, описанного вокруг правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна $3$, а боковое ребро — $5$. (Вершины основания вписанной пирамиды лежат на окружности основания конуса, а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.) $π$

Хотя условие выглядит сложно, эта задача не сложнее предыдущей. Заметим, что боковое ребро пирамиды — это образующая конуса. Теперь вспомним, что в правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне. Поэтому сторона основания пирамиды — это радиус конуса. Значит, нам известны образующая и радиус основания конуса. Чтобы применить формулу объема, нам нужно еще найти высоту. Из прямоугольного треугольника она равна $h=√{5^2-3^2}=4$. Объем конуса можно найти по формуле объема: $V=1/3 πr^2h=1/3·π·3^2·4=12π$.