Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Как решать С1

О чем задача?

Задачи на решение тригонометрических уравнений, более сложных, чем в задании B7. В большинстве задач требуется не только решить уравнение, но и отобрать корни, принадлежащие определенному отрезку.

а) Решите уравнение $\sin x(2\sin x-3\ctg x)=3$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-{3π}/2;{π}/2]$.

Как решать?

Шаг 1. Найдите область определения

В первую очередь найдите область определения уравнения.

Функция $\sin x$ определена на всей числовой оси, а функция $\ctg x$ определена, когда $\sin x ≠ 0$ (поскольку $\ctg x= {\cos x}/{\sin x} $), то есть $x≠πk$, где $k$ — любое челое число. Мы нашли облать определения уравнения: $x≠πk$, где $k$ — любое челое число.

Шаг 2. Приведите уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений

Для того чтобы привести уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений, применяйте следующие стандартные приемы:

Раскроем скобки: $$ \sin x(2\sin x-3\ctg x)=3 \,\,⇔\,\,\sin x(2\sin x-3{\cos x}/{\sin x})=3 \,\, ⇔ \,\, 2\sin^2 x-3 \cos x=3{.} $$ Выразим $\sin^2 x$ из основного тригонометрического тождества: $\sin^2 x=1-\cos^2 x$. Тогда $$2-2\cos^2 x-3\cos x=3 \,\,⇔\,\,2\cos^2 x+3\cos x+1=0{.}$$

Сделаем замену переменной. Пусть $\cos x=t$. Наше уравнение свелось к квадратному уравнению $$2t^2+3t+1=0{.}$$

Воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения, получаем два корня: $t_1=-1$ и $t_2=-1/2$.

Мы свели исходное уравнение к совокупности простейших тригонометрических уравнений $$[\table \cos x = -1 {,};\cos x = -1/2 {.}$$

Шаг 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения

О решении простейших тригонометрических уравнений читайте в отдельной статье.

Убедитесь, что найденные вами корни принадлежат области определения уравнения.

Решим совокупность простейших тригонометрических уравнений, полученную на предыдущем шаге. Заметим, что корни уравнения $\cos x =-1$ не принадлежат области определения исходного уравнения, потому что при $\cos x =-1$ имеем $\sin x=0$ (а при $\sin x =0$ функция $\ctg x$ в исходном уравнении не определена).

Остается решить уравнение $\cos x =-1/2$.

Вспомним, что $\cos π/3 =1/2$.

Тогда по формулам приведения $\cos (π-π/3)=\cos {2π}/{3}=-1/2$, следовательно $\arccos (-1/2)={2π}/{3}$.

Получим решение уравнения: $$x=±{2π}/{3}+2πk{,}$$ где $k$ — целое число.

Шаг 4. Выберите корни, принадлежащие отрезку, данному в условии

Корни, принадлежащие данному в условии отрезку, можно найти либо методом перебора, либо путем решения неравенства относительно $k$.

Найдем подходящие корни методом перебора. Для этого рассмотрим две серии корней по отдельности.

Начнем с серии $x={2π}/3+2πk$. При $k=0$ корень $x={2π}/3$ не попадает в заданный отрезок, потому что ${2π}/3 {>} π/2$. При $k=-1$ корень $x={2π}/3- 2π=-{4π}/3$ попадает в заданный отрезок, потому что $ -{3π}/2 {<} -{4π}/3 $. Это единственный корень в этой серии, принадлежащий нужному отрезку.

Теперь рассмотрим серию $x=-{2π}/3 + 2πk$. При $k=0$ корень $x=-{2π}/3$ попадает в заданный отрезок. Других корней, принадлежащих нашему отрезку, в этой серии корней нет (это следует из того, что длина отрезка составляет $ 2π$, а период серии решений также равен $ 2 π$; значит, если один из корней серии находится внутри отрезка, все остальные корни из этой серии уже не попадают в отрезок).

Итак, отрезку $[-{3π}/2;{π}/2]$ принадлежат корни $x=- {4π}/3$ и $x=- {2π}/3$.