Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Тригонометрические формулы

Тригонометрические функции некоторых углов

$$\table , 0, 30^°,45^°,60^°,90^°,180^°,270^°;α, 0, π/6, π/4, π/3,π/2,π,{3π}/2;\sinα,0,1/2,√{2}/{2},√{3}/2,1,0,-1;\cosα,1,√{3}/{2},√{2}/{2},1/2,0,-1,0;\tgα,0,√{3}/{3},1,√{3},∞,0,∞;\ctgα,∞,√{3},1,√{3}/{3},0,∞,0$$

Эти же точки, отмеченные на тригонометрическом круге. $\cos α$ — координата $x$, $\sinα$ — координата $y$.

Формулы приведения

Для определения значения $f(x+{π k}/2)$, где $f$ — одна из функций $\sin$, $\cos$, $\tg$ или $\ctg$, используются формулы приведения.

$$\table \bo β=, π/2+α, π+α, {3π}/2+α, π/2-α,π-α,{3π}/2-α;\sinβ,\cosα,-\sinα,-\cosα,\cosα,\sinα,-\cosα;\cosβ,-\sinα,-\cosα,\sinα,\sinα,-\cosα,-\sinα;\tgβ,-\ctgα,\tgα,-\ctgα,\ctgα,-\tgα,\ctgα;\ctgβ,-\tgα,\ctgα,-\tgα,\tgα,-\ctgα,\tgα$$

Вместо запоминания формул можно использовать тригонометрический круг . Координата $x$ точки круга соответствует косинусу, а координата $y$ — синусу.

Например, если отложить углы $α$ и ${π}/2+α$, можно увидеть, что $\cos(π/2+α)=-\sinα$.

Тригонометрические функции имеют период $2π$. Это означает, что если к величине угла прибавить $2π$ (или $4π$, $6π$, …), то значение функции не изменится. Например, $\sin (x+49 π)=\sin(x+π)=-\sin x$.

Выражение одних тригонометрических функций через другие

Если $x$ — острый угол, то есть $0{<}x{<}π/2$, то одни тригонометрические функции выражаются через другие по формулам:

Через косинус угла

$\sin x=√{1-\cos^2 x},\,\, \tg x={√{1-\cos^2 x} }/{\cos x}, \,\, \ctg x={\cos x}/{√{1-\cos^2 x} }$;

Через синус угла

$\cos x=√{1-\sin^2 x},\,\, \tg x={\sin x}/{√{1-\sin^2 x} }, \,\, \ctg x={√{1-\sin^2 x} }/{\sin x}$;

Через тангенс угла

$\sin x={\tg x}/{√{1+\tg^2 x} }, \,\,\,\, \cos x={1}/{√{1+\tg^2 x} }, \,\,\,\, \ctg x=1/{\tg x}$.

Формулы двойного аргумента

$\sin 2x=2\sin x\cos x$ — синус двойного угла;

$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ — косинус двойного угла;

$\tg 2x={2\tg x}/{1-\tg^2 x}$ — тангенс двойного угла.

Формулы понижения степени

Переход к двойному аргументу позволяет понизить степень тригонометрических функций:

$\cos^2x= {1+\cos 2x}/{2}$;

$\sin^2x= {1-\cos 2x}/{2}$.

Эти формулы дают обратное преобразование по сравнению с формулами двойного аргумента .

Формулы половинного аргумента

$2\sin^2 {x}/{2}=1-\cos x$ — синус половинного угла;

$2\cos^2 {x}/{2}=1+\cos x$ — косинус половинного угла;

$\tg^2 {x}/{2}={1-\cos x}/{1+\cos x}$ — тангенс половинного угла;

$\tg {x/2}={\sin x}/{1+\cos x}={1-\cos x}/{\sin x}$ — тангенс половинного угла.

Формулы сложения

$$ \sin (α + β)=\sin α \cos β + \cos α \sin β$$

$$ \sin (α - β)=\sin α \cos β - \cos α \sin β$$

$$ \cos (α + β)=\cos α \cos β - \sin α \sin β$$

$$ \cos (α - β)=\cos α \cos β + \sin α \sin β$$

$$ \tg (α + β)={\tg α + \tg β}/{1-\tg α \tg β}$$

$$ \tg (α - β)={\tg α - \tg β}/{1+\tg α \tg β}$$

(в последних двух формулах $α ≠ π/2+π n, β ≠ π/2+π n$ и соответственно $α + β ≠ π/2 + π n, α-β ≠ π/2+π n$, $n$ — целое)

$$ \ctg (α + β)={\ctg α \ctg β - 1}/{\ctg α + \ctg β}$$

$$ \ctg (α - β)={\ctg α \ctg β + 1}/{\ctg α - \ctg β}$$

(в последних двух формулах $α ≠ π n, β ≠ π n$ и соответственно $α + β ≠ π n, α-β ≠ π n$, $n$ — целое)