Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Иррациональные уравнения

Иррациональное уравнение — это уравнение с неизвестным под знаком корня. Иррациональное уравнение может иметь вид $$√{f(x)}=g(x)$$ или $$√{f(x)}=√{g(x)},$$ где $f(x)$ и $g(x)$ — это рациональные выражения. При этом корень в условии уравнения может быть не только квадратным, а корнем любой степени $n$.

Решим уравнение $√{-48-14x}=-x$.

ОДЗ:$$1)\,\,\,\,-48-14x≥0\,\,\,\,⇔\,\,\,\,-14x≥48\,\,\,\,⇔\,\,\,\,$$ $$x≤-48/14=-24/7;$$ $$2)\,\,\,\,-x≥0\,\,\,\,⇔\,\,\,\,x≤0.$$ Условие $2)$ возникает по той причине, что $-x$ равен квадратному корню, а значение квадратного корня всегда неотрицательно. Из условий $1)$ и $2)$ получаем ОДЗ $x≤-24/7$, так как в этом случае выполняется и $x≤0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $$-48-14x=x^2\,\,\,\,⇔\,\,\,\,x^2+14x+48=0.$$ Дискриминант равен $D=14^2-4·1·48=196-192=4$.
Корни равны $x_1={-14-2}/{2}=-8$ и $x_2={-14+2}/{2}=-6.$

Оба корня лежат в области определения уравнения ($-6=-42/7≤-24/7$).

Ответ: $-6$ и $-8$.