Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Как решать С3

О чем задача?

Решение систем из двух неравенств. Зачастую неравенства являются логарифмическими или показательными.

Решите систему неравенств: $\{\table 12· 3^x-9^x-11,≥,0{,};\log_{√{x}}(2-x)^4,{<},8.$

Как решать?

Шаг 1. Найдите область определения

В первую очередь найдите область определения неравенств системы.

Помните, что показательная функция определена на всей числовой оси, а логарифмическая функция $\log_{g(x)} f(x)$ определена, если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, $g(x)≠1$.

Первое неравенство системы содержит показательные функции, определенные на всей числовой оси.Второе неравенство содержит логарифмическую функцию, определенную при $${\{\table (2-x)^4{>}0{,};√x{>}0{,};√x≠1}\,\,⇔\,\,{\{\table (2-x)^4≠0{,};x{>}0{,};x≠1}\,\,⇔\,\,{\{\table x≠2{,};x{>}0{,};x≠1$$ Область определения можно представить в виде $(0;1)∪(1;2)∪(2;+∞)$.

Шаг 2. Поочередно решите все неравенства системы

При решении неравенств применяйте следующие стандартные приемы:

Продемонстрируем метод замены переменной на примере первого неравенства системы. Осуществим замену переменной: $t=3^x$. Получим неравенство $12t-t^2-11≥0$. Решим его: $$t^2-12t+11≤0\,\,⇔\,\,(t-1)(t-11)≤0\,\,⇔\,\,1≤t≤11.$$ Получаем $1≤3^x≤11\,\,⇔\,\,3^0≤3^x≤3^{\log_3 11}\,\,⇔\,\,0≤x≤\log_3 11$.

Применим формулы действия с логарифмами, чтобы упростить второе неравенство. Подойдет формула $\log_{a^q}(x^p)=p/q\log_a x$. Преобразуем левую часть неравенства: $$\log_{√{x}}(2-x)^4=(4:1/2)\log_x |2-x|=8\log_x|2-x|.$$ Тогда неравенство можно переписать в виде $$8\log_x |2-x|{<}8\,\,⇔\,\,\log_x |2-x|{<}1.$$

Решим неравенство $\log_x |2-x|{<}1$: $$\log_x {|2-x|}{<}1\,\,⇔\,\,\log_x |2-x|{<}\log_x x\,\,⇔\,\,$$ $$[\table {|2-x|}{<}x \text", если "x{>}1{,};{|2-x|{>}x \text", если "x \text" принадлежит " (0;1){.}$$ Выражение $|2-x|$ равно $2-x$, если $x{<}2$, и равно $x-2$, если $x≥2$. Получим следующую совокупность неравенств: $$[\table x-2{<}x \text", если "x{>}2{,};2-x{<}x \text", если "x \text" принадлежит "(1;2){,};2-x>x \text", если "x \text" принадлежит "(0;1).$$ Все три неравенства всегда выполняются на соответствующих интервалах. Поэтому решение второго неравенства совпадает с его областью определения:$$(0;1)∪(1;2)∪(2;+∞).$$

Шаг 3. Найдите пересечение области определения и решений обоих неравенств системы

Представьте область определения и решения обоих неравенств в виде объединения интервалов числовой оси. Найдите пересечение этих множеств, то есть такое множество, которое принадлежало бы и области определения, и решению каждого из неравенств.

Область определения: $(0;1)∪(1;2)∪(2;+∞)$.Решение первого неравенства: $[0;\log_3 11]$.Решение второго неравенства: $(0;1)∪(1;2)∪(2;+∞)$.Найдем пересечение этих множеств. Заметим, что $\log_3 11 > \log_3 9 = 2$.Решение системы: $(0;1)∪(1;2)∪(2;\log_3 11]$.