Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Квадратные уравнения

Определение

Уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ называется квадратным уравнением.

Величина $D=b^2-4ac$ называется дискриминантом. От знака дискриминанта зависит, есть ли корни у квадратного уравнения.

Решение квадратного уравнения

$$x_1={-b - √D} / {2a},\,\,\,\, x_2={-b + √D} / {2a} {.}$$ Заметим, что если $D=0$, то уравнение имеет единственный корень $x_1=-{b}/{2a}$.

Решим уравнение $2x^2+3x-20=0$.

Сначала вычислим дискриминант: $D=3^2-4·2·(-20)=9+160=169$. Заметим, что $169=13^2$.

Корни уравнения равны $x_1={-3-√169}/{2·2}={-3-13}/{4}=-16/4=-4$ и $x_2={-3+√169}/{2·2}={-3+13}/{4}=10/4=2,5$.

У уравнения два корня: $x_1=-4$ и $x_2=2,5$.

Приведенное квадратное уравнение

Приведенное квадратное уравнение — квадратное уравнение, у которого коэффициент при $x^2$ равен единице: $x^2+px+q=0$.

$x^2-4x+4=0$ — приведенное квадратное уравнение.


Теорема Виета

Если $x_1, x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$, то

$$x_1 + x_2 = -p;\,\,\,\, x_1 x_2 = q.$$

Это означает, что приведенные квадратные уравнения можно решать, не используя формулы корней квадратного уравнения с дискриминантом, а подбирая такие числа $x_1$ и $x_2$, что $x_1+x_2=-p$, а $x_1x_2=q$.

Решим уравнение $x^2-20x+99=0$.

Представим число $99$ в виде произведения пары чисел. Это могут быть числа $99$ и $1$, $33$ и $3$, $11$ и $9$, а также те же пары чисел с противоположными знаками. Среди этих пар чисел выберем такую пару, числа которой в сумме дают $20$. Это $11$ и $9$. Это и есть корни уравнения. Вы можете проверить эти корни подстановкой.

Полный квадрат

Полный квадрат — это выражение вида $(ax+b)^2$.

В квадратном трехчлене $x^2+px+q$ можно выделить полный квадрат: $x^2+px+q=(x+p/2)^2+q-p^2/4$.

Если дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ равен $0$ (то есть $D=p^2-4q=0$), то $x^2+px+q=(x+p/2)^2$ и это квадратное уравнение имеет единственный корень $x_1=-p/2$.

Решим уравнение $x^2+6x+9=0$.

Дискриминант этого уравнения равен $D=6^2-4·9=36-36=0$. Значит, $x^2+6x+9=(x+3)^2$ (чтобы в этом убедиться, раскройте скобки, применив формулу квадрата суммы). Уравнение имеет единственный корень $x_1=-3$:$$x^2+6x+9=0⇔(x+3)^2=0⇔x+3=0⇔x=-3{.}$$