Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную под знаком логарифма или в его основании.

Логарифмическое уравнение в ЕГЭ может иметь вид $$\log_b h(x)= \log_c k(x),$$ или $$\log_b h(x)=d,$$ или $$\log_{h(x)}b=d$$ при $b{>}0$, $b≠1$ и $с{>}0$, $c≠1$.

Решим уравнение $\log_{0,2} {1}/{x+21}=\log_5 (x-3)+\log_5(x-4)$.

Уравнение определено, если ${1}/{x+21}{>}0$, при этом $x-3{>}0$ и $x-4{>}0$. Заметим, что при $x{>}4$ все три неравенства выполняются. Поэтому область определения: $x{>}4$.

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Основание левой части равно $0,2=1/5=5^{-1}$. Воспользовавшись формулами действия с логарифмами, преобразуем левую часть $$\log_{0,2} {1}/{x+21}=-1·\log_5 {1}/{x+21} =\log_5 (x+21).$$ Также используя формулы действия с логарифмами, перепишем правую часть $$\log_5 (x-3)+\log_5(x-4)=\log_5 {(x-3)(x-4)}=\log_5 (x^2-7x+12).$$
Мы привели обе части уравнения к основанию $5$: $$\log_5 (x+21)=\log_5 (x^2-7x+12).$$
Применив метод отбрасывания логарифмов, получаем $$x^2-7x+12=x+21\,\,\,\,⇔\,\,\,\,x^2-8x-9=0.$$ Дискриминант равен $D=(-8)^2-4·1·(-9)=64+36=100=10^2$.
Корни равны $x_1={8-10}/{2}=-1$ и $x_2={8+10}/{2}=9.$

Корень $x_1=-1$ лежит вне области определения уравнения.

Ответ: $9$.

Метод отбрасывания логарифмов

Уравнение вида $\log_a {f(x)} =\log_a {g(x)}$, где $a{>}0$ и $a≠ 1$, можно упростить:

из $\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)}$ следует, что $f(x)=g(x)$.

То есть для решения $\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)}$ достаточно решить уравнение $f(x)=g(x)$, а потом исключить корни, в которых логарифм не определен. Логарифм не определен, когда $f(x)≤0$ или $g(x)≤0$.

При проверке корней достаточно убедиться, что хотя бы одно из неравенств $f(x){>}0$ или $g(x){>}0$ выполняется. Второе неравенство будет выполняться автоматически, поскольку $f(x)=g(x)$. Поэтому если одна из функций $f(x)$ и $g(x)$ положительна для всех $x$, то уравнения $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ и $f(x)=g(x)$ эквивалентны. То есть проверка корней не требуется.

$\log_3 (6x+4) =\log_3 9 \,⇔\, 6x+4=9$, поскольку $9{>}0$ при любом $x$.