Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Метод рационализации

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения $F(x)$ на более простое выражение $G(x)$, при которой неравенство $G(x) ∨0$ равносильно неравенству $F(x) ∨0$ в области определения выражения $F(x)$.

Под знаком $∨$ подразумевается один из знаков ${>}, {<},≥, ≤$.

Рассмотрим, например, выражение $√{f(x)}-√{g(x)}$. Заметим, что оно принимает значения таких же знаков, что и выражение $f-g$ на своей области определения, действительно: $$f(x){<}g(x) ⇔√{f(x)}{<}√{g(x)},$$ $$f(x){>}g(x) ⇔√{f(x)}{>}√{g(x)}$$ в силу возрастания функции $t(x)=√x$.

Любое неравенство приводимо к виду $${u_1·u_2·...·u_n}/{v_1·v_2·...·v_k} ∨0,$$ где $u_1,...,u_n,v_1,...,v_k$ — некоторые функции. Довольно часто каждую из них можно заменить на другую знакосовпадающую функцию на области определения. Приведём основные типы выражений, для которых можно использовать метод рационализации.

В первом столбце таблицы — функция $F(x)$, которую мы рационализируем. Во втором столбце — функция $G(x)$ — знакосовпадающая с функцией $F(x)$ на области её определения. При этом, используя метод рационализации, нельзя забывать про область определения функций. При решении задачи исходное неравенство преобразуется в систему: рационализированное неравенство и ОДЗ исходного неравенства.

Выражение $F$Выражение $G$ОДЗ
$\log_{h(x)} f(x) - \log_{h(x)}g(x)$ $(h(x)-1)·(f(x)-g(x))$ $f(x){>}0, \,g(x){>}0, \,h(x){>}0, \,h(x)≠1$
$\log_{h(x)} f(x) - 1$ $(h(x)-1)·(f(x)-h(x))$ $f(x){>}0,\,h(x){>}0,\,h(x)≠1$
$\log_{h(x)}f(x)$$(h(x)-1)·(f(x)-1)$$f(x){>}0,\,h(x){>}0,\,h(x)≠1$
$\log_{f(x)}h(x)-\log_{g(x)}h(x)$$(f(x)-1)·(g(x)-1)·(h(x)-1)·(g(x)-f(x))$$h(x){>}0, \,f(x){>}0,\,f(x)≠1$, $g(x){>}0,\,g(x)≠1$
$h(x)^{f(x)} - h(x)^{g(x)}$$(h(x)-1)·(f(x)-g(x))$$h(x){>}0$
$h(x)^{f(x)}-1$$(h(x)-1) ·f(x)$$h(x){>}0$
$f(x)^{h(x)}-g(x)^{h(x)}$$(f(x)-g(x))·h(x)$$f(x){>}0,\,g(x){>}0$
$|f(x)|-|g(x)|$$(f(x)-g(x))·(f(x)+g(x))$любые значения $f(x)$ и $g(x)$

Выпишем некоторые наиболее часто применяющиеся следствия из этой таблицы, которые выполняются в ОДЗ рассматриваемых функций:

$$\log_{h(x)}f(x)·\log_{p(x)}q(x) ∨0 ⇔ (h(x)-1)·(f(x)-1)·(p(x)-1)·(q(x)-1)∨0;$$

$$\log_{h(x)}f(x)+\log_{h(x)}g(x) ∨0 ⇔ (f(x)g(x)-1)·(h(x)-1)∨0;$$

$$√{f(x)}-√{g(x)} ∨0 ⇔ f(x)-g(x) ∨0;$$

$${h(x)^{f(x)}-h(x)^{g(x)}}/{h(x)^{p(x)}-h(x)^{q(x)}} ∨0 ⇔{ f(x)-g(x)}/{p(x)-q(x)} ∨0.$$

Упражнение 1. Если не учитывать ОДЗ, то чему равносильно неравенство $\log_x(x^2){>}0$?

Воспользуемся строчкой $3$ из таблицы: выражение $\log_{h(x)}f(x) ∨0$ равносильно $(h(x)-1)·(f(x)-1) ∨0$. Поэтому неравенство $\log_x (x^2) {>} 0$ равносильно $$(x-1)(x^2-1){>}0 .$$

Упражнение 2. Если не учитывать ОДЗ, то чему равносильно неравенство $x^{x^2-2}≤1$?

Воспользуемся строчкой $6$ из таблицы: выражение $h(x)^{f(x)}-1∨0$ равносильно $(h(x)-1)·f(x)∨0$. Поэтому неравенство $x^{x^2-2}≤1 ⇔ x^{x^2-2}-1≤0$ равносильно $$(x-1)(x^2-2)≤0 .$$

Упражнение 3. Если не учитывать ОДЗ, то чему равносильно неравенство $(x-3)^{x^2-3}{<}(2x-7)^{x^2-3}$ ?

Воспользуемся строчкой $7$ из таблицы: выражение $f(x)^{h(x)}-g(x)^{h(x)}∨0$ равносильно $(f(x)-g(x))·h(x)∨0$. Поэтому неравенство $(x-3)^{x^2-3}{<}(2x-7)^{x^2-3} ⇔ (x-3)^{x^2-3}-(2x-7)^{x^2-3} {<} 0$ равносильно $$((x-3)-(2x-7))·(x^2-3) {<}0 ⇔ (x-4)·(x^2-3) {>}0 . $$

Пример 1. Решите неравенство $$\log_{2x+3}x^2<1.$$

Запишем неравенство в виде $\log_{2x+3}x^2-1<0$ и используем метод рационализации для случая $\log_{f(x)}g(x)-1 <0$. Тогда неравенство равносильно $$\{ \table {(2x+3-1)(x^2-2x-3){<}0,}; {2x+3{>}0;\,2x+3≠1,}; {x≠0.}$$

Заметим, что условие $2x+3≠1$ выполняется автоматически, когда выполняется первое неравенство из системы. Раскладывая это неравенство на множители, получаем равносильную систему: $$\{ \table {2(x+1)(x+1)(x-3){<}0,}; {x{>}-1,5,}; {x≠0.}$$

Данная система решается методом интервалов (см. рис. 1). Решением будет множество $x∈(-3/2,-1)∪(-1,0)∪(0,3)$.

Пример 2. Решите неравенство $$\log_{|x+2|}(4+7x-2x^2) ≤2. $$

Запишем неравенство в виде $$\log_{|x+2|}(4+7x-2x^2)-\log_{|x+2|}(x+2)^2≤0$$ и используем метод рационализации. Запишем равносильную систему: $$\{ \table {(|x+2|-1)(4+7x-2x^2-(x+2)^2)≤0,}; {4+7x-2x^2{>}0,};{|x+2|{>}0; |x+2|≠1.}$$

Используя строчку $8$ из таблицы, получаем, что знак выражения $(|x+2|-1)$ совпадает со знаком $((x+2)^2-1)$.

Заметим также, что $|x+2|$ число не отрицательное, и неравенство $|x+2|{>}0$ равносильно $|x+2|≠0 ⇔ x≠-2$.

Неравенство $|x+2|≠1$ равносильно совокупности ${[ \table {x+2≠1,};{x+2≠-1}; }⇔ [ \table {x≠-1,};{x≠-3}.$

Таким образом, исходная систем равносильна следующей: $${ \{ \table {((x+2)^2-1)(-3x^2+3x)≤0,};{(x+0,5)(x-4)<0,}; {x≠-1;x≠-2;x≠-3.} } ⇔ { \{ \table {x(x+1)(x+3)(x-1)≥0,};{(x+0,5)(x-4)<0,}; {x≠-1;x≠-2;x≠-3.} }$$

Решая данную систему методом интервалов (см. рис. 2), получаем ответ: $x ∈(-0,5;0]∪[1,4).$