Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tg x=a$ и $\ctg x=a$.

Уравнения для синуса и косинуса имеют решения только при $|a|≤1$. Для тангенса и котангенса — при любых $a$.

Если существует хотя бы одно решение, то их бесконечно много.

Общий вид решения:

При каждом значении $k=0,±1,±2,…$ получается одно из решений уравнения.

$\arcsin a$, $\arccos a$, $\arctg a$, $\arcctg a$ — обратные тригонометрические функции.

На рисунке показаны решения уравнения $\sin x=a$ и $\cos x=b$ ($x$ обозначает точку на окружности):

Как решать простейшие тригонометрические уравнения

О чем задача?

В задании B7 вам могут встретиться простейшие уравнения с тригонометрическими функциями. Эти уравнения записываются в виде $f(kx+b)=a$, где $f$ — одна из функций $\sin$, $\cos$, $\tg$.

Найдите корень уравнения $\tg {π(x-6)}/3=1/{√ 3}$. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Как решать?

Все такие задачи решаются по одной схеме.

Шаг 1. Найдите угол $α$, для которого $f(α)=a$

В уравнении $\tg{π(x-6)}/{6}={1}/{√{3}}$ сначала найдем $α$, такое что $\tg α= {1}/{√{3}}$. Уравнению удовлетворяет $α={π}/{6}$.

Шаг 2. Найдите общее решение уравнения $f(α)=a$

$\tg α= {1}/{√{3}}$ при $α={π}/{6}+π k$, где $k=0,± 1, ± 2,….$

Шаг 3. Найдите все $x$, удовлетворяющие уравнению

$α={π(x-6)}/{6}={π}/{6}+π k$. Разделим обе части на $π$ и умножим на $6$. Получим $$x-6=1+6k{,}$$
откуда $x=7+6k$, где $k=0,±1, ±2,…$.

Шаг 4. Найдите $x$, о котором спрашивается в условии

Нам надо найти наибольшее отрицательное значение $x$. Значения $x=7+6k$ отрицательны, если $$7+6k<0 \,⇔\,k<-7/6\,⇔\,k<-1{1}/{6}{.}$$ Поскольку $k$ — целое число, наибольшее такое $k$ — это $k=-2$. Поэтому наибольшее отрицательное значение в серии $7+6k$ достигается при $k=-2$ и равно $-5$.

Чтобы не решать неравенство относительно $k$, можно вычислить значение $x$ при разных $k$ и выбрать наибольшее отрицательное значение:
— $\,\,$При $k=1$ имеем $x=13$
— $\,\,$При $k=0$ имеем $x=7$
— $\,\,$При $k=-1$ имеем $x=1$
— $\,\,$При $k=-2$ имеем $x=-5$
— $\,\,$При $k=-3$ имеем $x=-11$
При дальнейшем уменьшении $k$ значение $x$ также будет уменьшаться. Наибольшее отрицательное значение $x$ — это $x=-5$.