Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Степенные уравнения

Кубическое уравнение

Уравнение вида $ax^3+bx^2+cx+d=0$ называется кубическим уравнением.

В ЕГЭ, как правило, встречаются кубические уравнения вида $(kx+b)^3=c$.

Решим уравнение $4(x+1)^3=500$.

Приведем уравнение к виду $(kx+b)^3=c$ (важно, чтобы вся левая часть уравнения представляла собой некоторое выражение в 3-й степени): $$4(x+1)^3=500\,\,\,\,⇔\,\,\,\,(x+1)^3=125.$$
Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения: $$(x+1)^3=125\,\,\,\,⇔\,\,\,\,x+1=√^3{125}=5.$$ Отсюда получаем $$x=5-1=4.$$

Уравнения 4-й степени и более высоких степеней

Уравнение, левая часть которого представляет собой многочлен степени n, называется уравнением $n$-й степени.
Уравнение $n$-й степени имеет вид $c_n x^n + c_{n-1}x^{n-1}+…+c_1 x+c_0=0$.
В частности, уравнение вида $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ называется уравнением 4-й степени.

В ЕГЭ, как правило, встречаются уравнения вида $(kx+b)^n=c$, где $n$ - натуральное число .

Решим уравнение $4(x+1)^4=324$.

Приведем уравнение к виду $(kx+b)^4=c$ (важно, чтобы вся левая часть уравнения представляла собой некоторое выражение в 4-й степени): $$4(x+1)^4=324\,\,\,\,⇔\,\,\,\,(x+1)^4=81.$$
Извлечем корень 4-й степени из обеих частей уравнения: $$(x+1)^4=81\,\,\,\,⇔\,\,\,\,[\table x+1=√^4{81}{,};x+1=-√^4{81}$$ $$\,\,\,\,⇔\,\,\,\,[\table x+1=3{,};x+1=-3{.}$$ Отсюда получаем два корня: $x_1=3-1=2$, $x_2=-3-1=-4$.