Подготовка к ЕГЭ-2016 по физике, русскому языку и математике на нашем новом сайте Lampa.io

Уравнения с параметром

Что нужно знать

Параметр

Параметр – фиксированное, но неизвестное число, обозначенное буквой.

Рассмотрим пример:

Возьмём уравнение с параметром $a$ и переменной $x$: $3x+a=0$. При любом значении параметра $a$ уравнение является линейным относительно переменной $x$.

Чему равно решение уравнения при $a=3$?

При $a=3$ уравнение имеет вид $3x+3=0$. Его решение: $x=-1$.

Чтобы решить уравнение в общем виде, мы должны выразить корень уравнения через параметр $a$: $$x_0=-a/{3}.$$

Простейшие примеры

В предыдущем примере мы записали переменную $x$ как функцию параметра $a$. Мы можем подставить любое значение параметра и найти корень.

В некоторых задачах требуется найти значение параметра, при котором известное число является решением уравнения. Проще всего подставить это число в уравнение и найти значение параметра, при котором равенство является верным.

1. При каких значениях $a$ число 5 является решением уравнения $x^2-3x+a=0$?

Вместо того, чтобы выражать корни уравнения через $a$, подставим $x=5$ в уравнение. Чему равно $a$?

Если $x=5$ — корень, то получим $5^2-3·5+a=0$ $⇔$ $25-15+a=0$ $⇔$ $ a=-10$.

Ответ: $a=-10$.

При некоторых значениях параметра уравнение может не иметь решений. Когда корень уравнения выражается через параметр, важно следить за тем, при каких значениях параметра это выражение действительно является корнем. Все преобразования (при раскрытии корня, избавлении от логарифма и т.д.) должны быть равносильны:

2. Решите уравнение $√x=a$.

Перейдём к эквивалентной системе: $$√x=a ⇔ \{ \table x=a^2{,}; a≥0{.}$$

Ответ: $\[\table x=a^2{,}, a≥0{,}; ∅{,}, a<0{.}$

В зависимости от конкретных значений параметра уравнение может иметь разное количество корней. Если мы выразили корень как функцию параметра, то нужно отдельно рассмотреть те значения параметра, при которых эта функция не имеет смысла. Например, функция $√{4-a^2}$ не имеет смысла при $|a|>2$, а функция $1/{a+1}$ — при $a=-1$.

3. Решить уравнение $(a^2-1)x=a+1$.

Разложив на множители левую часть уравнения, получим $(a+1)(a – 1)x=a+1$. Рассмотрим особые случаи для параметра $a$.

Чему равно решение уравнения при $a=-1$?

При $a=-1$ уравнение принимает вид $0·x=0$, то есть любое действительное число является его решением.

Чему равно решение уравнения при $a=1$?

При $a=1$ уравнение принимает вид $0·x=2$, то есть уравнение не имеет решений.

Чему равно решение уравнения при $a≠1$ и $a≠-1$?

При $a≠1$ и $a≠-1$ уравнение принимает вид $(a-1)x=1⇔x=1/{a-1}$.

Ответ: $[\table x∈ℝ {,}, a=-1{,}; ∅{,}, a=1{,}; x=1/{a-1}{,}, a≠-1{,}, a≠1{.}$

Постановка задачи

В заданиях С5 часто встречаются задачи, которые можно свести к следующей формулировке:

Найти значения параметра, при которых уравнение обладает определённым количеством корней, удовлетворяющих заданному условию.

Посвятим остаток данной статьи разбору различных способов решения таких задач.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$ 1-3/{x+a-1}={5a}/{(x+a-1)(x+1)} $$ на промежутке $(3;+∞)$ имеет хотя бы один корень.

Способы решения

Перебор

Некоторые задачи можно свести к перебору отдельных случаев. Например, мы можем найти несколько возможных корней уравнения. Затем для каждого из них определить, при каких значения параметра они принадлежат ОДЗ и удовлетворяют другим условиям задачи. Обратимся к примеру, приведённому выше:

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$ 1-3/{x+a-1}={5a}/{(x+a-1)(x+1)} $$ на промежутке $(3;+∞)$ имеет хотя бы один корень.

ОДЗ: $x≠1-a$, $x≠-1$.

Перейдём к уравнению-следствию: $$(x+a-1)(x+1)-3(x+1)=5a$$ $$x^2+x(a-3)-4a-4=0$$

Отсюда $x_1=4$ и $x_2=-a-1$.

Необходимо найти значение параметра, при котором хотя бы один корень больше $3$ и попадает в ОДЗ.

При каких значениях $a$ $x_1$ удовлетворяет этим условиям?

Для $x_1$ эти утверждения можно записать так: $${\{\table 4>3{,};1-a≠4{,};-1≠4{;}} ⇔ a≠-3.$$

При каких значениях $a$ $x_2$ удовлетворяет этим условиям?

Для $x_2$ эти утверждения можно записать так:

$${\{\table -a-1>3{,};1-a≠-a-1{,};-1≠-a-1{;}} ⇔ {\{\table a<-4{,};a≠0{;}}⇔ a<-4.$$

Объединим два случая, чтобы получить ответ. При каких значениях $a$ хотя бы один корень удовлетворяет условиям?

Хотя бы один корень уравнения удовлетворяет условиям, если

$${\[\table a≠-3{,}; a<-4{;}}⇔a≠-3.$$

Ответ: $(-∞;-3)∪(-3;+∞)$.

Исследование квадратного трёхчлена

Часто уравнение с параметром удаётся привести к квадратному. В таких задачах нужно найти значения параметра, при которых корни лежат на некотором промежутке. Для решения подобных примеров необходимо произвести анализ расположения корней. Чтобы определить взаимное расположение границ промежутка и корней уравнения, следует воспользоваться следующими утверждениями:

Для использования приведённых выше утверждений не нужно непосредственно вычислять корни уравнения.

При каких значениях параметра $a$ оба корня уравнения $x^2+ax-1=0$ меньше 3?

Воспользуемся утверждением, приведённым выше, для $f(x)=x^2+ax-1$. Система примет вид: $$\{\table D>0{,}; 1·f(3)>0{,}; 3>-a/{2·1}{.}$$

$$D=a^2+4>0,$$Первое условие выполняется автоматически. Запишем два других условия:

$$1·f(3)>0 \,\,\,\,⇔\,\,\,\, 3^2+a·3-1=3a+8>0\,\,\,\,⇔\,\,\,\,a>-8/3,$$

$$3>-a/2\,\,\,\,⇔\,\,\,\,a>-6.$$

Взяв наиболее сильное из этих условий, получим $a>-8/3$.

Ответ: $(-8/3; +∞)$.

Параметр как равноправная переменная

Несмотря на то, что выше параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число, можно считать его равноправной переменной.

При каких $a$ уравнение $√{a+√{a+sin x}}=sin x$ имеет решения?

Обозначим $sin x = t$. Исходное уравнение примет вид $√{a+√{a+t}}=t$. С учётом $|t|≤1$ это уравнение равносильно системе: $$\{\table a+t=(t^2-a)^2{,}; 1≥t≥0{,}; t^2≥a{.}$$

Уравнение удобно представить как квадратное относительно $a$. Получим $$a^2-a(2t^2+1)+t^4-t=0\,\,⇔\,\,(a-t^2-t-1)(a-t^2+t)=0\,\,⇔\,\,\[\table a=t^2+t+1{,}; a=t^2-t{.}$$

Так как $t^2≥a$ и $1≥t≥0$, то $t^2-a+t+1>0$. Поэтому первое равенство совокупности не может выполняться. Тогда выполняется второе, и исходная система равносильна такой: $${\{\table a=t^2-t{,}; 1≥t≥0{,}; t^2≥a{.}}\,\,\,\,⇔\,\,\,\,\{\table a=t^2-t{,}; 1≥t≥0{.}$$

Условие $t^2≥a$ выполняется автоматически при $a=t^2-t$ и $t≥0$.

Какие значения может принимать функция $a=t^2-t$ на отрезке $[0;1]$?

Минимальное значение на отрезке $[0;1]$ равно $-1/4$ и достигается в вершине параболы $a=t^2-t$, точке $t=1/2$. Максимальное значение равно $0$ и достигается в точках $0$ и $1$. Поэтому параметр $a$ может принимать все значения из отрезка $[-1/4;0]$.

Ответ: $[-1/4;0]$.

Графический метод

В задачах, в которых необходимо найти количество решений уравнения в зависимости от параметра, удобно обратиться к графическому методу решения. Этот метод будет рассмотрен отдельно.